Què és una derivada (sense fórmules estranyes)
Una derivada mesura com de ràpid canvia una cosa en un instant concret. Si una funció et diu on és un cotxe a cada moment, la seva derivada et diu a quina velocitat va just ara, no de mitjana durant el viatge.
Geomètricament és encara més visual: la derivada d'una funció en un punt és el pendent de la recta tangent en aquell punt. Un pendent positiu gran vol dir que la funció puja de pressa; un pendent zero vol dir que, en aquell punt, ni puja ni baixa (i és allà on viuen els màxims i els mínims).
Aquesta és tota la idea: la derivada converteix "com d'inclinada està la corba aquí" en un nombre. Si tens clara aquesta imatge, la meitat del tema deixa de ser màgia i passa a tenir sentit.
D'on surt: la pregunta de la recta tangent
El problema que va originar les derivades és antic: com mesures la velocitat en un únic instant, si per calcular una velocitat sempre necessites un interval de temps? La resposta és prendre intervals cada cop més petits i veure cap a quin valor s'acosten. Això és un límit, i per això les derivades arriben després dels límits.
Formalment, la derivada d'una funció f en un punt x es defineix així:
f'(x) = lím(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h
Aquest quocient, [f(x + h) − f(x)] / h, és el pendent de la recta que uneix dos punts de la corba separats una distància h (la recta secant). Quan h es fa diminut, els dos punts gairebé es troben i la secant es converteix en la tangent. La definició completa la tens al capítol de Definició de la derivada d'OpenStax (LibreTexts).
L'eina la van desenvolupar de manera independent, a finals del segle XVII, Isaac Newton i Gottfried Leibniz; de Leibniz ve la notació dy/dx que encara fem servir. Avui la derivada forma part del currículum oficial de Matemàtiques I i II de Batxillerat, tal com recull el Reial Decret 243/2022 del currículum de Batxillerat.
Les regles de derivació que t'has de saber sí o sí
A la pràctica gairebé mai derives amb el límit: fas servir regles que ja surten demostrades d'aquesta definició. Aquestes són les que resolen la majoria dels exercicis de Batxillerat.
| Regla | Fórmula | Exemple |
|---|---|---|
| Constant | (c)' = 0 | (5)' = 0 |
| Potència | (xn)' = n · xn−1 | (x3)' = 3x2 |
| Constant per funció | (c · f)' = c · f' | (4x2)' = 8x |
| Suma | (f + g)' = f' + g' | (x2 + x)' = 2x + 1 |
| Producte | (f · g)' = f' · g + f · g' | (x · ex)' = ex + x · ex |
| Cadena | (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) | (sin(2x))' = 2 · cos(2x) |
La regla de la potència és la que més faràs servir: baixes l'exponent com a factor i li restes 1. La regla de la cadena és la que més gent oblida, i és justament la que separa un 6 d'un 9 a selectivitat.
Com derivar pas a pas: un exemple resolt
Vegem un cas complet que uneix derivar i aplicar. Donada f(x) = x2 − 4x + 3, calcula la seva derivada i troba el seu mínim.
- Deriva terme a terme. Aplica la regla de la potència a cada part: (x2)' = 2x, (−4x)' = −4 i (3)' = 0.
- Escriu la derivada. Sumant els resultats: f'(x) = 2x − 4.
- Busca on el pendent és zero. En un mínim la tangent és horitzontal, així que iguales la derivada a zero: 2x − 4 = 0, d'on x = 2.
- Calcula el valor del mínim. Substitueixes a la funció original, NO a la derivada: f(2) = 22 − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
El mínim és al punt (2, −1). Fixa't en el pas 4: la derivada et diu on és el mínim (a x = 2), però el valor del mínim es calcula amb f, no amb f'. Confondre les dues coses és l'error que més punts costa en aquest tipus de problema.
Per a què serveix una derivada: velocitat, màxims i economia
Fora de l'examen, la derivada és una de les eines més utilitzades de la ciència, perquè gairebé tot el que és interessant té a veure amb com canvien les coses:
- Física. La velocitat és la derivada de la posició respecte al temps, i l'acceleració és la derivada de la velocitat. Mitja Física de Batxillerat són derivades disfressades.
- Optimització. Trobar el màxim benefici, el mínim cost o la llauna que gasta menys material es redueix a buscar on la derivada val zero. És l'aplicació estrella de selectivitat.
- Economia. El cost marginal i l'ingrés marginal són derivades: mesuren quant canvia el cost o l'ingrés en produir una unitat més.
- Dades i biologia. La taxa de creixement d'una població o la velocitat d'una reacció s'expressen com a derivades.
Per això entendre la derivada no és només aprovar 2n de Batxillerat: és la base del càlcul que faràs servir en qualsevol carrera de ciències, enginyeria, economia o salut.
Errors comuns que treuen nota en derivar
Com a professors que corregim aquests exàmens, aquestes són les errades que més es repeteixen i que més punts costen:
- Derivar malament la potència. (x3)' és 3x2, no 3x3 ni x2. Es baixa l'exponent i es resta 1; oblidar qualsevol dels dos passos és l'error número u.
- Oblidar la regla de la cadena. La derivada de sin(2x) és 2·cos(2x), no cos(2x). Si dins de la funció hi ha "alguna cosa més que x", cal multiplicar per la seva derivada.
- Inventar-se la regla del producte. (f·g)' NO és f'·g'. És f'·g + f·g'. Derivar cada factor per separat i multiplicar està malament.
- Confondre on amb quant. Resoldre f'(x) = 0 et dóna la posició del màxim o el mínim; el valor cal treure'l substituint a f, no a f'.
- Que una constant "sobrevisqui". La derivada d'un nombre sol és 0: a f(x) = x2 + 7, aquest 7 desapareix en derivar.
Quan val la pena un professor particular de Matemàtiques
Les derivades són un d'aquells temes que, si no s'entenen les primeres setmanes, arrosseguen tot el que ve després: aplicacions, representació de funcions, integrals i mig examen de selectivitat. La llacuna no es queda quieta, s'eixampla sola a mesura que el temari s'acumula. Per això, en plena època de matrícula, el que de debò resol el problema és la continuïtat: el suport a Matemàtiques amb el mateix professor i el mateix ritme de setembre a juny, perquè cap bloc no es quedi a mitges. El nostre pla anual és sense permanència, a terminis sense interessos i amb descompte per pagament avançat.
Si prefereixes provar abans de decidir el curs sencer, pots començar amb una primera classe amb 50% de descompte: una sessió per veure si encaixa, sense compromís. Molts alumnes que arribaven encallats amb les derivades recuperen el fil en només 2 o 3 setmanes de feina guiada, dedicant-hi unes 2 hores a la setmana.
Preguntes freqüents
Quina diferència hi ha entre derivada i funció derivada?
La derivada en un punt és un nombre: el pendent de la tangent allà. La funció derivada, f'(x), és la fórmula que et dóna aquest pendent en qualsevol punt. Quan derives x2 i obtens 2x, 2x és la funció derivada; si l'avalues a x = 3 obtens la derivada en aquell punt, que val 6.
Per què s'iguala la derivada a zero per buscar màxims i mínims?
Perquè en un màxim o un mínim la corba deixa de pujar o baixar un instant, i allà la recta tangent és horitzontal: el seu pendent és zero. Com que la derivada és aquest pendent, resoldre f'(x) = 0 et dóna els candidats a màxim i mínim, que després es comproven amb la segona derivada o estudiant el signe.
Cal saber límits per entendre les derivades?
Sí, almenys la idea. La derivada es defineix com un límit, el del quocient incremental quan l'interval tendeix a zero. A la pràctica derivaràs amb regles, però entendre aquest límit és el que fa que les regles tinguin sentit en comptes de ser receptes memoritzades.