Sinus, cosinus i tangent: entén la trigonometria d'una vegada

Què són el sinus, el cosinus i la tangent

Totes tres són raons: comparen dos costats d'un triangle rectangle (el que té un angle recte de 90°). Fixat un angle agut, que anomenarem θ, els seus costats tenen nom: la hipotenusa és el costat més llarg (el del davant de l'angle recte), el catet oposat és el que queda enfront de θ i el catet contigu és el que toca θ.

Amb aquests tres costats es defineixen les tres raons:

• Sinus: sin θ = oposat / hipotenusa
• Cosinus: cos θ = contigu / hipotenusa
• Tangent: tg θ = oposat / contigu

La idea clau, la que gairebé ningú explica, és aquesta: el valor de cada raó depèn només de l'angle, no de la mida del triangle. Si fas més gran el triangle mantenint els angles, els costats creixen tots alhora i el quocient no canvia. Per això té sentit parlar del "sinus de 30°" com un nombre fix. Les definicions formals d'aquestes raons les recull l'Encyclopædia Britannica, i també hi veuràs que la tangent és igual al sinus dividit pel cosinus: tg θ = sin θ / cos θ.

La regla SOH-CAH-TOA, amb un triangle d'exemple

Per no confondre quin costat va a dalt i quin a baix, es fa servir el truc SOH-CAH-TOA, que resumeix les tres definicions: Sinus = Oposat / Hipotenusa, Cosinus = Adjacent / Hipotenusa, Tangent = Oposat / Adjacent.

Vegem-ho amb el triangle rectangle més famós, el de costats 3, 4 i 5. Prenem l'angle θ el catet oposat del qual fa 3, el catet contigu fa 4 i la hipotenusa fa 5. Aplicant SOH-CAH-TOA:

• sin θ = 3 / 5 = 0,6
• cos θ = 4 / 5 = 0,8
• tg θ = 3 / 4 = 0,75

Si ara vols el mateix angle, fas servir la funció inversa de la calculadora: θ = arctg(0,75) ≈ 36,87°. Pots practicar amb més exercicis guiats d'aquest tipus al bloc de triangles rectangles de Khan Academy, que és gratuït i ho resol pas a pas.

La taula de valors que convé saber

Hi ha cinc angles que surten una vegada i una altra als exàmens. Saber aquests valors de memòria t'estalvia temps i errors de calculadora:

Dues regularitats per no haver de memoritzar a la força: el sinus i el cosinus sempre valen entre 0 i 1 (són un quocient on la hipotenusa, que està a sota, és el costat més llarg), i en passar de 0° a 90° el sinus puja mentre el cosinus baixa. A més, per a qualsevol angle es compleix la identitat fonamental: sin²θ + cos²θ = 1. La tangent de 90° "no existeix" perquè allà el catet contigu valdria 0 i no es pot dividir entre zero.

Com resoldre un problema de trigonometria pas a pas

El clàssic de tots els llibres: calcular una alçada que no pots mesurar directament. Imagina que ets a 20 metres del peu d'un arbre i mesures que la capçada està a un angle d'elevació de 35° respecte a l'horitzontal. Quant fa l'arbre? Segueix aquest ordre:

1. Dibuixa el triangle i marca l'angle conegut (35°) i el costat conegut (els 20 m, que és el catet contigu a l'angle).
2. Identifica què busques: l'alçada és el catet oposat a l'angle de 35°.
3. Tria la raó que relaciona oposat i contigu: aquesta és la tangent. tg 35° = alçada / 20.
4. Aïlla: alçada = 20 · tg 35°.
5. Calcula: com que tg 35° ≈ 0,70, surt alçada ≈ 20 · 0,70 ≈ 14 metres.

El 90% dels problemes de trigonometria d'aquest curs es resolen amb aquest guió: dibuixar, veure quin costat tens i quin vols, i triar entre sinus, cosinus o tangent segons quins dos costats apareixen. No cal endevinar res.

Errors que més nota treuen a trigonometria

Des de l'altre costat, corregint exàmens, aquests són els errors que més es repeteixen i que gairebé sempre són evitables:

• La calculadora en el mode equivocat. Si treballes en graus, ha de posar "DEG"; en "RAD" et donarà resultats absurds. És l'error número u i buida exàmens sencers.
• Confondre oposat i contigu. Depenen de l'angle que estiguis mirant: el catet que és "oposat" per a un angle és "contigu" per a l'altre. Marca sempre l'angle primer.
• Fer servir la raó que no toca. Si tens oposat i hipotenusa, és sinus; no forcis la tangent perquè te la sàpigues millor.
• Oblidar d'aïllar. sin 30° = x / 10 no és x = sin 30°; cal multiplicar: x = 10 · sin 30°.
• Arrodonir massa aviat. Guarda els decimals fins al final perquè el resultat no es desviï.

Quan val la pena un professor particular de Matemàtiques

La trigonometria és un d'aquells temes que, si no s'entén les primeres setmanes, arrossega tot el que ve després: resolució de triangles, trigonometria a la circumferència, vectors i, més endavant, les funcions sinus i cosinus de 2n de Batxillerat. La llacuna no es queda quieta, s'eixampla sola a mesura que el temari s'acumula. Per això, en plena època de matrícula, el que de debò resol el problema és la continuïtat: el suport a Matemàtiques amb el mateix professor particular i el mateix ritme de setembre a juny, perquè cap bloc no es quedi a mitges. El nostre pla anual és sense permanència, a terminis sense interessos i amb descompte per pagament avançat.

Si prefereixes provar abans de decidir el curs sencer, pots començar amb una primera classe amb 50% de descompte: una sessió per veure si encaixa, sense compromís. Molts alumnes que arribaven encallats amb el sinus, el cosinus i la tangent recuperen el fil en només 2 o 3 setmanes de feina guiada, dedicant-hi una hora o dues a la setmana.

Preguntes freqüents

Per a què serveix de debò la trigonometria?

Per mesurar distàncies i angles que no pots mesurar directament: l'alçada d'un edifici, el pendent d'una rampa o la distància a un vaixell des de la costa. També és la base de la física d'ones, dels gràfics per ordinador i del GPS. No és un caprici del temari: és l'eina per "resoldre triangles" quan només en coneixes una part.

He d'aprendre la taula de valors de memòria?

Els de 0°, 30°, 45°, 60° i 90° sí que convé, perquè apareixen constantment i molts exàmens demanen el valor exacte (amb arrels), no el decimal de la calculadora. La resta els treus amb la calculadora. Saber els cinc de memòria et dona velocitat i seguretat a l'examen.

Quina diferència hi ha entre sinus i arcsinus?

El sinus va de l'angle al nombre: li dones 30° i et torna 0,5. L'arcsinus fa el contrari: li dones 0,5 i et torna l'angle, 30°. Fas servir el sinus quan coneixes l'angle i busques un costat, i l'arcsinus quan coneixes els costats i busques l'angle.