Què és un logaritme (sense fórmules estranyes)
Un logaritme és, senzillament, l'exponent que et falta. Quan escrius 23 = 8, estàs dient "2 elevat a 3 fa 8". El logaritme fa la pregunta a l'inrevés: "a quin nombre cal elevar 2 perquè faci 8?". La resposta és 3, i s'escriu log2(8) = 3.
Aquesta és tota la idea. El logaritme i la potència són operacions inverses, igual que la resta desfà la suma o l'arrel desfà el quadrat. Si ho tens clar, la meitat dels problemes es resolen sols.
A l'expressió logb(x) = y, la base és b (el nombre que s'eleva), x és el nombre del qual calcules el logaritme i el resultat y és l'exponent. Per conveni, quan no veus cap base escrita (log x) s'entén base 10, i quan veus "ln" és el logaritme neperià, de base e ≈ 2,718.
D'on surten i per què es van inventar
Els logaritmes no van néixer per torturar ningú en un examen. Els va publicar el matemàtic escocès John Napier el 1614, en una obra anomenada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, amb un objectiu molt concret: convertir multiplicacions en sumes.
En aquella època, astrònoms i navegants multiplicaven nombres enormes a mà, i una errada de càlcul podia desviar un vaixell centenars de quilòmetres. Com que log(a·b) = log a + log b, n'hi havia prou amb sumar en comptes de multiplicar: hores de feina reduïdes a minuts. Va ser tan útil que es diu que "va allargar la vida dels astrònoms" tot estalviant-los càlculs.
Avui formen part del currículum oficial de Matemàtiques I de Batxillerat, dins del bloc de funcions exponencials i logarítmiques, tal com recull el Reial Decret 243/2022 del currículum de Batxillerat. Entendre'n l'origen ajuda: no són una regla arbitrària, són una eina per manejar nombres que creixen molt de pressa.
Les propietats que t'has de saber sí o sí
Gairebé tots els problemes es resolen amb tres propietats. No cal memoritzar-les com un lloro: cadascuna surt d'una propietat de les potències que ja coneixes.
| Propietat | Fórmula | Exemple |
|---|---|---|
| Producte | log(a·b) = log a + log b | log(2·5) = log 2 + log 5 |
| Quocient | log(a/b) = log a − log b | log(100/10) = log 100 − log 10 |
| Potència | log(an) = n · log a | log(103) = 3 · log 10 = 3 |
Hi ha dos valors que convé tenir gravats perquè apareixen constantment:
- logb(1) = 0, sempre, en qualsevol base: tot nombre elevat a 0 fa 1.
- logb(b) = 1: la base elevada a 1 és ella mateixa. Per això log 10 = 1 i ln(e) = 1.
I quan la base del logaritme no coincideix amb la de la teva calculadora, fas servir el canvi de base: logb(x) = log x / log b. Amb això pots calcular qualsevol logaritme amb la tecla "log" normal.
Com resoldre una equació logarítmica pas a pas
Vegem un cas típic d'examen resolt sencer. Resol: log2(x + 3) = 4.
- Pas 1 — tradueix el logaritme a potència. log2(x + 3) = 4 vol dir "2 elevat a 4 és igual a x + 3". És a dir: x + 3 = 24.
- Pas 2 — calcula la potència. 24 = 16, de manera que l'equació queda x + 3 = 16.
- Pas 3 — aïlla. x = 16 − 3 = 13.
- Pas 4 — comprova el domini. Dins d'un logaritme només hi pot haver nombres positius. Com que x + 3 = 16 > 0, la solució x = 13 és vàlida.
Aquest pas 4 és el que més gent s'oblida i on es perden punts: si en substituir el resultat l'argument del logaritme sortís negatiu o zero, la solució s'hauria de descartar. Comprovar el domini no és opcional, és part de la resposta.
Logaritmes a la vida real: terratrèmols, pH i so
Si et preguntes per a què serveix això fora de l'examen, la resposta és: per mesurar coses que canvien de manera brutal. Quan una magnitud es multiplica per deu un cop i un altre, una escala normal es queda curta i es fa servir una escala logarítmica.
- Terratrèmols. L'escala de Richter és logarítmica en base 10: un terratrèmol de magnitud 7 allibera unes 10 vegades més energia en amplitud que un de magnitud 6, no una vegada més.
- Acidesa. El pH que veus a Química es defineix com pH = −log[H+]. Per això un pH de 4 és deu vegades més àcid que un de 5.
- So. Els decibels també són logarítmics: per això apujar "uns quants" decibels multiplica la intensitat del so.
És el mateix motiu pel qual un gràfic logarítmic apareix a biologia, economia o informàtica: permet veure d'un cop d'ull una cosa que creix disparada.
Errors comuns que treuen nota amb els logaritmes
Com a professors que corregim aquests exàmens, aquestes són les errades que més es repeteixen i que més punts costen:
- Inventar-se una propietat. log(a + b) NO és log a + log b. La propietat de la suma només funciona amb el producte: log(a·b). Aquest és l'error número u.
- Oblidar el domini. Donar per vàlida una solució que fica un nombre negatiu o el zero dins del logaritme. Sempre es comprova al final.
- Confondre base i argument. A log2(8), la base és 2 i l'argument és 8; no a l'inrevés.
- No simplificar abans de fer servir la calculadora. Molts logaritmes (log 100, log 1000, ln e) fan nombres rodons si apliques les propietats; teclejar a la brava és perdre temps i arrossegar decimals.
Detectar aquestes errades a temps pot valer 2 punts en un examen, perquè solen repartir-se per diversos apartats.
Quan val la pena un professor particular de Matemàtiques
Els logaritmes són un d'aquells temes que, si no s'entenen la primera setmana, arrosseguen el que ve després: funcions exponencials, derivades i, més endavant, selectivitat. La llacuna no es queda quieta, s'eixampla sola a mesura que el temari s'acumula. Per això, en plena època de matrícula, el que de debò resol el problema és la continuïtat: el suport a Matemàtiques amb el mateix professor i el mateix ritme de setembre a juny, perquè cap bloc no es quedi a mitges. El nostre pla anual és sense permanència, a terminis sense interessos i amb descompte per pagament avançat.
Si prefereixes provar abans de decidir el curs sencer, pots començar amb una primera classe amb 50% de descompte: una sessió per veure si encaixa, sense compromís. Molts alumnes que arribaven encallats amb els logaritmes recuperen el fil en només 2 o 3 setmanes de feina guiada, dedicant-hi unes 2 hores a la setmana.
Preguntes freqüents
Quina diferència hi ha entre log i ln?
"log" sense base escrita és el logaritme decimal, de base 10. "ln" és el logaritme neperià, de base e (un nombre irracional ≈ 2,718). Són el mateix concepte amb bases diferents; a Batxillerat es fan servir tots dos i es passa d'un a l'altre amb el canvi de base.
Per què no existeix el logaritme d'un nombre negatiu?
Perquè no hi ha cap exponent real al qual elevar una base positiva i obtenir un nombre negatiu o zero. Per això l'argument d'un logaritme sempre ha de ser estrictament positiu, i aquesta condició defineix el domini de les funcions logarítmiques.
Per a què serveixen els logaritmes si tinc calculadora?
La calculadora et dóna un nombre, però l'examen et demana raonar: aplicar propietats, resoldre equacions i plantejar funcions. A més, apareixen a Física, Química i Economia. Entendre la idea, no només prémer una tecla, és el que marca la nota de 7 sobre 10 cap amunt.