Qué es una derivada (sin fórmulas raras)
Una derivada mide lo rápido que cambia algo en un instante concreto. Si una función te dice dónde está un coche en cada momento, su derivada te dice a qué velocidad va justo ahora, no de media durante el viaje.
Geométricamente es aún más visual: la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Una pendiente positiva grande significa que la función sube deprisa; una pendiente cero significa que, en ese punto, ni sube ni baja (y ahí es donde viven los máximos y los mínimos).
Esa es toda la idea: la derivada convierte "cómo de inclinada está la curva aquí" en un número. Si tienes clara esa imagen, la mitad del tema deja de ser magia y pasa a tener sentido.
De dónde sale: la pregunta de la recta tangente
El problema que originó las derivadas es antiguo: ¿cómo mides la velocidad en un único instante, si para calcular una velocidad siempre necesitas un intervalo de tiempo? La respuesta es tomar intervalos cada vez más pequeños y ver hacia qué valor se acercan. Eso es un límite, y por eso las derivadas llegan después de los límites.
Formalmente, la derivada de una función f en un punto x se define así:
f'(x) = lím(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h
Ese cociente, [f(x + h) − f(x)] / h, es la pendiente de la recta que une dos puntos de la curva separados una distancia h (la recta secante). Cuando h se hace diminuto, los dos puntos casi se juntan y la secante se convierte en la tangente. La definición completa la tienes en el capítulo de Definición de la derivada de OpenStax (LibreTexts).
La herramienta la desarrollaron de forma independiente, a finales del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz; de Leibniz viene la notación dy/dx que todavía usamos. Hoy la derivada forma parte del currículo oficial de Matemáticas I y II de Bachillerato, como recoge el Real Decreto 243/2022 del currículo de Bachillerato.
Las reglas de derivación que tienes que saberte sí o sí
En la práctica casi nunca derivas con el límite: usas reglas que ya salen demostradas de esa definición. Estas son las que resuelven la mayoría de los ejercicios de Bachillerato.
| Regla | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Constante | (c)' = 0 | (5)' = 0 |
| Potencia | (xn)' = n · xn−1 | (x3)' = 3x2 |
| Constante por función | (c · f)' = c · f' | (4x2)' = 8x |
| Suma | (f + g)' = f' + g' | (x2 + x)' = 2x + 1 |
| Producto | (f · g)' = f' · g + f · g' | (x · ex)' = ex + x · ex |
| Cadena | (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) | (sen(2x))' = 2 · cos(2x) |
La regla de la potencia es la que más vas a usar: bajas el exponente como factor y le restas 1. La regla de la cadena es la que más gente olvida, y es justo la que separa un 6 de un 9 en selectividad.
Cómo derivar paso a paso: un ejemplo resuelto
Veamos un caso completo que une derivar y aplicar. Dada f(x) = x2 − 4x + 3, calcula su derivada y encuentra su mínimo.
- Deriva término a término. Aplica la regla de la potencia a cada parte: (x2)' = 2x, (−4x)' = −4 y (3)' = 0.
- Escribe la derivada. Sumando los resultados: f'(x) = 2x − 4.
- Busca dónde la pendiente es cero. En un mínimo la tangente es horizontal, así que igualas la derivada a cero: 2x − 4 = 0, de donde x = 2.
- Calcula el valor del mínimo. Sustituyes en la función original, NO en la derivada: f(2) = 22 − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
El mínimo está en el punto (2, −1). Fíjate en el paso 4: la derivada te dice dónde está el mínimo (en x = 2), pero el valor del mínimo se calcula con f, no con f'. Confundir las dos cosas es el error que más puntos cuesta en este tipo de problema.
Para qué sirve una derivada: velocidad, máximos y economía
Fuera del examen, la derivada es una de las herramientas más usadas de la ciencia, porque casi todo lo interesante tiene que ver con cómo cambian las cosas:
- Física. La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad. Media Física de Bachillerato son derivadas disfrazadas.
- Optimización. Encontrar el máximo beneficio, el mínimo coste o la lata que gasta menos material se reduce a buscar dónde la derivada vale cero. Es la aplicación estrella de selectividad.
- Economía. El coste marginal y el ingreso marginal son derivadas: miden cuánto cambia el coste o el ingreso al producir una unidad más.
- Datos y biología. La tasa de crecimiento de una población o la velocidad de una reacción se expresan como derivadas.
Por eso entender la derivada no es solo aprobar 2º de Bachillerato: es la base del cálculo que vas a usar en cualquier carrera de ciencias, ingeniería, economía o salud.
Errores comunes que quitan nota al derivar
Como profesores que corrigen estos exámenes, estos son los fallos que más se repiten y que más puntos cuestan:
- Derivar mal la potencia. (x3)' es 3x2, no 3x3 ni x2. Se baja el exponente y se resta 1; olvidar cualquiera de los dos pasos es el error número uno.
- Olvidar la regla de la cadena. La derivada de sen(2x) es 2·cos(2x), no cos(2x). Si dentro de la función hay "algo más que x", hay que multiplicar por su derivada.
- Inventarse la regla del producto. (f·g)' NO es f'·g'. Es f'·g + f·g'. Derivar cada factor por separado y multiplicar está mal.
- Confundir dónde con cuánto. Resolver f'(x) = 0 te da la posición del máximo o el mínimo; el valor hay que sacarlo sustituyendo en f, no en f'.
- Que una constante "sobreviva". La derivada de un número solo es 0: en f(x) = x2 + 7, ese 7 desaparece al derivar.
Cuándo vale la pena un profesor particular de Matemáticas
Las derivadas son uno de esos temas que, si no se entienden en las primeras semanas, arrastran todo lo que viene después: aplicaciones, representación de funciones, integrales y medio examen de selectividad. La laguna no se queda quieta, se agranda sola a medida que el temario se acumula. Por eso, en plena época de matrícula, lo que de verdad resuelve el problema es la continuidad: el apoyo en Matemáticas con el mismo profesor y el mismo ritmo de septiembre a junio, para que ningún bloque se quede a medias. Nuestro plan anual es sin permanencia, a plazos sin intereses y con descuento por pago adelantado.
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Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre derivada y función derivada?
La derivada en un punto es un número: la pendiente de la tangente ahí. La función derivada, f'(x), es la fórmula que te da esa pendiente en cualquier punto. Cuando derivas x2 y obtienes 2x, 2x es la función derivada; si la evalúas en x = 3 obtienes la derivada en ese punto, que vale 6.
¿Por qué se iguala la derivada a cero para buscar máximos y mínimos?
Porque en un máximo o un mínimo la curva deja de subir o bajar un instante, y ahí la recta tangente es horizontal: su pendiente es cero. Como la derivada es esa pendiente, resolver f'(x) = 0 te da los candidatos a máximo y mínimo, que luego se comprueban con la segunda derivada o estudiando el signo.
¿Hace falta saber límites para entender las derivadas?
Sí, al menos la idea. La derivada se define como un límite, el del cociente incremental cuando el intervalo tiende a cero. En la práctica derivarás con reglas, pero entender ese límite es lo que hace que las reglas tengan sentido en vez de ser recetas memorizadas.