Com abordar un problema matemàtic avançat del PAU: protocol en 4 passos
Abans d'entrar en cada tipologia, convé fixar el protocol comú de resolució que utilitzen els alumnes que treuen un 9 o més en matemàtiques de Selectivitat. Aplicat amb disciplina, aquest protocol elimina la majoria d'errors evitables.
- Lectura activa (60-90 segons): identifica dades, incògnita i tipus d'objecte matemàtic esperat (un valor, una funció, un conjunt, una probabilitat).
- Reconeixement de tipologia: assigna el problema a un bloc (optimització, àlgebra amb paràmetres, geometria analítica, càlcul integral, probabilitat).
- Plantilla d'atac: aplica la seqüència estàndard d'aquell bloc (la veuràs a sota a cada exemple).
- Verificació final: substitueix a la condició original o comprova l'ordre de magnitud abans de passar al següent exercici.
Aquesta taula resumeix els cinc tipus de problema avançat més freqüents a les convocatòries 2022-2025 i el seu protocol específic:
| Tipus de problema | Plantilla de resolució | Error que penalitza més | Temps orientatiu |
|---|---|---|---|
| Optimització (màxims i mínims) | Definir funció objectiu → expressar-la en una variable → derivar i igualar a 0 → comprovar amb segona derivada | Oblidar comprovar si l'extrem és màxim o mínim | 12-15 min |
| Sistemes amb paràmetres | Calcular det(A) → discutir pels valors que l'anul·len → aplicar Rouché-Frobenius en cada cas | No estudiar tots els casos del paràmetre | 13-16 min |
| Geometria analítica a l'espai | Esquema ràpid → vectors directors/normals → equació adequada → comprovar dimensió del resultat | Confondre recta amb pla en equacions paramètriques | 10-14 min |
| Integrals amb substitució avançada | Identificar patró (trigonomètrica, racional, per parts) → canvi de variable → ajustar diferencials → desfer canvi | No desfer la substitució abans d'avaluar els límits | 10-13 min |
| Probabilitat condicionada amb arbre | Dibuixar arbre → multiplicar branques → aplicar Bayes si s'inverteix el condicionament | Invertir el condicionament (P(A|B) ≠ P(B|A)) | 8-11 min |
A les seccions següents desenvolupem un exemple concret resolt pas a pas per a cada tipologia, amb el detall dels punts on la correcció del PAU assigna puntuació parcial.
Exemple 1: problema d'optimització amb funció objectiu en dues variables
Enunciat: entre tots els rectangles de perímetre 40 cm, troba les dimensions del que té àrea màxima.
Pas 1 — Variables i restricció. Siguin x i y els costats del rectangle. La condició de l'enunciat dóna la restricció 2x + 2y = 40, és a dir, x + y = 20.
Pas 2 — Funció objectiu en una variable. L'àrea és A(x, y) = x · y. Aïllant y = 20 − x, la funció objectiu queda:
A(x) = x · (20 − x) = 20x − x²
Pas 3 — Derivar i igualar a zero. A'(x) = 20 − 2x. Igualant a 0: x = 10.
Pas 4 — Confirmar tipus d'extrem. A''(x) = −2 < 0, per tant x = 10 és màxim.
Pas 5 — Verificar domini i donar la resposta. Com que x ∈ (0, 20) per sentit geomètric, x = 10 compleix. Per tant y = 10 i el rectangle d'àrea màxima és un quadrat de costat 10 cm amb àrea 100 cm².
Punt crític de correcció: els correctors penalitzen especialment saltar-se el pas 4. Encara que sàpigues que és màxim "perquè té sentit", l'has de justificar amb la segona derivada. Val entre 0,25 i 0,5 punts de l'apartat.
Exemple 2: sistema amb paràmetre i discussió per Rouché-Frobenius
Enunciat: discuteix i resol, segons els valors del paràmetre a, el sistema:
- x + y + z = 1
- 2x + ay + z = 2
- x + y + az = a
Pas 1 — Matriu de coeficients i determinant.
Calcula det(A) desenvolupant per qualsevol fila o columna. El resultat és det(A) = (a − 1)(a − 2).
Pas 2 — Identificar valors crítics del paràmetre. det(A) = 0 quan a = 1 o a = 2. Aquests són els casos a discutir.
Pas 3 — Cas general (a ≠ 1 i a ≠ 2). det(A) ≠ 0 ⇒ rang(A) = rang(A|b) = 3 ⇒ sistema compatible determinat. Solució única per Cramer o reducció.
Pas 4 — Cas a = 1. Substituint, les equacions primera i tercera són idèntiques (x + y + z = 1) i la segona dóna 2x + y + z = 2. El sistema es redueix a dues equacions independents amb tres incògnites: rang(A) = rang(A|b) = 2 < 3 incògnites ⇒ compatible indeterminat amb un grau de llibertat.
Pas 5 — Cas a = 2. Substituint, queda x + y + z = 1, 2x + 2y + z = 2 i x + y + 2z = 2. Restant la primera de la segona: x + y = 1 ⇒ z = 0. Restant la primera de la tercera: z = 1. Contradicció ⇒ rang(A) = 2 però rang(A|b) = 3 ⇒ sistema incompatible.
Punt crític: l'error més penalitzat és no discutir TOTS DOS valors que anul·len el determinant. Si només n'analitzes un, perds fins al 40% de l'exercici encara que resolguis el cas general perfectament.
Exemple 3: geometria analítica — distància d'un punt a una recta a l'espai
Enunciat: calcula la distància del punt P(1, 2, 3) a la recta r: (x − 1)/2 = y/(−1) = (z + 1)/1.
Pas 1 — Identificar elements. De la recta: punt Q(1, 0, −1) i vector director v⃗ = (2, −1, 1).
Pas 2 — Vector QP. QP⃗ = P − Q = (0, 2, 4).
Pas 3 — Producte vectorial QP⃗ × v⃗. Calculant el determinant simbòlic s'obté un vector els components del qual cal calcular amb cura del signe. Resultat: QP⃗ × v⃗ = (6, 8, −4).
Pas 4 — Aplicar la fórmula de distància.
d(P, r) = |QP⃗ × v⃗| / |v⃗|
|QP⃗ × v⃗| = √(36 + 64 + 16) = √116 ; |v⃗| = √(4 + 1 + 1) = √6.
Pas 5 — Resultat. d(P, r) = √116 / √6 = √(116/6) = √(58/3) ≈ 4,40 unitats.
Punt crític: els correctors valoren que indiquis explícitament la fórmula abans d'aplicar-la. Fer el càlcul "de memòria" sense escriure d = |QP × v| / |v| pot costar-te 0,25 punts encara que el nombre final sigui correcte.
Exemple 4: integral amb substitució trigonomètrica
Enunciat: calcula la integral definida ∫₀¹ x · √(1 − x²) dx.
Pas 1 — Reconèixer el patró. La presència de √(1 − x²) suggereix substitució trigonomètrica x = sin(t), tot i que aquí n'hi ha prou amb un canvi simple per la x que multiplica.
Pas 2 — Canvi de variable. Sigui u = 1 − x². Llavors du = −2x dx, d'on x dx = −du/2.
Pas 3 — Canviar els límits. Quan x = 0 ⇒ u = 1 ; quan x = 1 ⇒ u = 0.
Pas 4 — Substituir i reordenar.
∫₀¹ x √(1 − x²) dx = ∫₁⁰ √u · (−du/2) = (1/2) ∫₀¹ u^(1/2) du
Pas 5 — Integrar i avaluar. (1/2) · [u^(3/2) / (3/2)] de 0 a 1 = (1/2) · (2/3) · 1 = 1/3.
Punt crític: l'error que més es veu en correccions és oblidar canviar els límits d'integració en fer la substitució (o, alternativament, desfer el canvi abans d'avaluar). Qualsevol de les dues vies és vàlida — combinar-les malament costa l'exercici sencer.
Exemple 5: probabilitat condicionada amb arbre i teorema de Bayes
Enunciat: en una fàbrica, la màquina A produeix el 60% de les peces i la màquina B el 40%. La proporció de peces defectuoses és del 2% a A i del 5% a B. Si una peça presa a l'atzar és defectuosa, quina és la probabilitat que provingui de la màquina B?
Pas 1 — Definir successos. A: peça fabricada per A ; B: per B ; D: peça defectuosa.
Pas 2 — Dades de l'enunciat. P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 ; P(D|A) = 0,02 ; P(D|B) = 0,05.
Pas 3 — Diagrama d'arbre. Dibuixa dues branques principals (A i B) i, en cadascuna, dues subbranques (defectuosa i no defectuosa). Multiplica les probabilitats al llarg de cada camí.
Pas 4 — Probabilitat total de defecte.
P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032
Pas 5 — Aplicar Bayes.
P(B|D) = P(B) · P(D|B) / P(D) = 0,020 / 0,032 = 0,625
Per tant, hi ha un 62,5% de probabilitat que la peça defectuosa provingui de la màquina B.
Punt crític: l'error gairebé universal és confondre P(B|D) amb P(D|B). L'arbre obliga a explicitar el sentit del condicionament i bloqueja aquest fallada. Si vols aprofundir en altres tipologies i blocs del temari, a la nostra pàgina de classes particulars de matemàtiques veuràs com treballem cada bloc per nivells.
Verificació, gestió del temps i recuperació de bloquejos
Resoldre bé els cinc tipus anteriors no és suficient si no controles el rellotge. En un examen tipus de 90 minuts (consulta el format exacte de la teva comunitat autònoma, ja que varia), el repartiment orientatiu és: 10-12 minuts per exercici + 8-10 minuts finals per revisar. Si superes els 20 minuts en un, marca'l, segueix i torna-hi al final.
La verificació inversa és l'eina de revisió més rendible: substitueix la teva solució a la condició original. Si no es compleix, tens pista directa de quin pas portava l'error. Si es compleix, guanyes confiança per deixar aquell exercici i no tocar-lo més.
Davant d'un bloqueig, no et quedis en blanc: escriu al marge les dades de l'enunciat, les fórmules relacionades i la tipologia que sospites. Aquest moviment activa la memòria de treball i, en la majoria dels casos, en menys d'un minut apareix la pista que et faltava.
Quan val la pena practicar amb un professor particular
Si has treballat els cinc exemples d'aquesta guia i encara sents que no podries reproduir-ne un d'equivalent sota pressió, és senyal clar que la pràctica autònoma ha tocat sostre. Un professor particular extern identifica en una sola sessió quin pas concret del protocol no estàs interioritzant — normalment no és teoria, sinó un automatisme d'execució que només s'entrena amb retroalimentació immediata.
El moment òptim per reforçar és entre febrer i abril, quan hi ha marge per reconstruir hàbits abans dels simulacres finals. A Eurekademy comptem amb professors particulars especialitzats en matemàtiques de Selectivitat, amb 4,8★ a Google i 1.000+ alumnes preparats.
Preguntes freqüents
Quin tipus de problemes matemàtics són més difícils a Selectivitat?
Els problemes amb paràmetres (àlgebra) i els d'optimització amb restriccions (anàlisi) són els que més alumnes suspenen, seguits de les integrals que requereixen substitució no immediata. La probabilitat condicionada sembla més fàcil però produeix errors sistemàtics per inversió del condicionament.
Quants exercicis resolts pas a pas he de fer abans de l'examen?
Una referència útil: 25-30 exercicis complets per cada tipologia en els tres mesos previs. Més important que la quantitat és treballar-los cronometrats i revisar cada error contra el protocol de la secció corresponent, no contra una solució memoritzada.
És millor estudiar per blocs temàtics o per tipus de problema?
Per al PAU, per tipus de problema. El temari oficial cobreix la teoria, però els enunciats de l'examen barregen blocs (p. ex. integrals que requereixen primer un canvi algebraic). Estudiar per tipologies t'entrena a reconèixer el patró d'execució, que és el que el tribunal avalua de debò.
Com evito quedar-me en blanc amb un problema que no he vist abans?
Aplica el pas 2 del protocol: classifica primer la tipologia per les paraules clau de l'enunciat ("màxim", "perpendicular", "àrea entre corbes", "probabilitat que..."). Un cop identificat el tipus, dispara la plantilla d'atac corresponent. Els problemes "inèdits" del PAU gairebé sempre són combinacions de dues tipologies conegudes.
Les calculadores gràfiques ajuden en aquests problemes?
Només si la teva comunitat les permet — diverses prohibeixen les programables o gràfiques. Encara que estiguin autoritzades, els punts del PAU s'assignen al desenvolupament escrit, no al resultat final. Una calculadora pot confirmar la teva resposta, però l'exercici es guanya mostrant els passos correctament.
Si vols practicar els cinc tipus de problema amb seguiment personalitzat, pots reservar la teva primera classe amb 50% de descompte aquí. Una sessió és suficient per diagnosticar quina tipologia et frena més i construir un pla d'execució per als mesos previs a la Selectivitat.