Cómo abordar un problema matemático avanzado del PAU: protocolo en 4 pasos
Antes de entrar en cada tipología, conviene fijar el protocolo común de resolución que usan los alumnos que sacan 9 o más en matemáticas de Selectividad. Aplicado con disciplina, este protocolo elimina la mayoría de errores evitables.
- Lectura activa (60-90 segundos): identifica datos, incógnita y tipo de objeto matemático esperado (un valor, una función, un conjunto, una probabilidad).
- Reconocimiento de tipología: asigna el problema a un bloque (optimización, álgebra con parámetros, geometría analítica, cálculo integral, probabilidad).
- Plantilla de ataque: aplica la secuencia estándar de ese bloque (la verás abajo en cada ejemplo).
- Verificación final: sustituye en la condición original o comprueba orden de magnitud antes de pasar al siguiente ejercicio.
Esta tabla resume los cinco tipos de problema avanzado más frecuentes en convocatorias 2022-2025 y su protocolo específico:
| Tipo de problema | Plantilla de resolución | Error que penaliza más | Tiempo orientativo |
|---|---|---|---|
| Optimización (máximos y mínimos) | Definir función objetivo → expresarla en una variable → derivar e igualar a 0 → comprobar con segunda derivada | Olvidar comprobar si el extremo es máximo o mínimo | 12-15 min |
| Sistemas con parámetros | Calcular det(A) → discutir por valores que anulan → aplicar Rouché-Frobenius en cada caso | No estudiar todos los casos del parámetro | 13-16 min |
| Geometría analítica en el espacio | Esquema rápido → vectores directores/normales → ecuación adecuada → comprobar dimensión del resultado | Confundir recta con plano en ecuaciones paramétricas | 10-14 min |
| Integrales con sustitución avanzada | Identificar patrón (trigonométrica, racional, por partes) → cambio de variable → ajustar diferenciales → deshacer cambio | No deshacer la sustitución antes de evaluar límites | 10-13 min |
| Probabilidad condicionada con árbol | Dibujar árbol → multiplicar ramas → aplicar Bayes si se invierte el condicionamiento | Invertir el condicionamiento (P(A|B) ≠ P(B|A)) | 8-11 min |
En las siguientes secciones desarrollamos un ejemplo concreto resuelto paso a paso para cada tipología, con el detalle de los puntos donde la corrección del PAU asigna puntuación parcial.
Ejemplo 1: problema de optimización con función objetivo en dos variables
Enunciado: entre todos los rectángulos de perímetro 40 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima.
Paso 1 — Variables y restricción. Sean x y y los lados del rectángulo. La condición del enunciado da la restricción 2x + 2y = 40, es decir, x + y = 20.
Paso 2 — Función objetivo en una variable. El área es A(x, y) = x · y. Despejando y = 20 − x, la función objetivo queda:
A(x) = x · (20 − x) = 20x − x²
Paso 3 — Derivar e igualar a cero. A'(x) = 20 − 2x. Igualando a 0: x = 10.
Paso 4 — Confirmar tipo de extremo. A''(x) = −2 < 0, luego x = 10 es máximo.
Paso 5 — Verificar dominio y dar la respuesta. Como x ∈ (0, 20) por sentido geométrico, x = 10 cumple. Por tanto y = 10 y el rectángulo de área máxima es un cuadrado de lado 10 cm con área 100 cm².
Punto crítico de corrección: los correctores penalizan especialmente saltarse el paso 4. Aunque sepas que es máximo "porque tiene sentido", debes justificarlo con la segunda derivada. Vale entre 0,25 y 0,5 puntos del apartado.
Ejemplo 2: sistema con parámetro y discusión por Rouché-Frobenius
Enunciado: discute y resuelve, según los valores del parámetro a, el sistema:
- x + y + z = 1
- 2x + ay + z = 2
- x + y + az = a
Paso 1 — Matriz de coeficientes y determinante.
Calcula det(A) desarrollando por cualquier fila o columna. El resultado es det(A) = (a − 1)(a − 2).
Paso 2 — Identificar valores críticos del parámetro. det(A) = 0 cuando a = 1 o a = 2. Estos son los casos a discutir.
Paso 3 — Caso general (a ≠ 1 y a ≠ 2). det(A) ≠ 0 ⇒ rango(A) = rango(A|b) = 3 ⇒ sistema compatible determinado. Solución única por Cramer o reducción.
Paso 4 — Caso a = 1. Sustituyendo, las ecuaciones primera y tercera son idénticas (x + y + z = 1) y la segunda da 2x + y + z = 2. El sistema se reduce a dos ecuaciones independientes con tres incógnitas: rango(A) = rango(A|b) = 2 < 3 incógnitas ⇒ compatible indeterminado con un grado de libertad.
Paso 5 — Caso a = 2. Sustituyendo, queda x + y + z = 1, 2x + 2y + z = 2 y x + y + 2z = 2. Restando la primera de la segunda: x + y = 1 ⇒ z = 0. Restando la primera de la tercera: z = 1. Contradicción ⇒ rango(A) = 2 pero rango(A|b) = 3 ⇒ sistema incompatible.
Punto crítico: el error más penalizado es no discutir AMBOS valores que anulan el determinante. Si solo analizas uno, pierdes hasta el 40% del ejercicio aunque resuelvas el caso general perfectamente.
Ejemplo 3: geometría analítica — distancia de un punto a una recta en el espacio
Enunciado: calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta r: (x − 1)/2 = y/(−1) = (z + 1)/1.
Paso 1 — Identificar elementos. De la recta: punto Q(1, 0, −1) y vector director v⃗ = (2, −1, 1).
Paso 2 — Vector QP. QP⃗ = P − Q = (0, 2, 4).
Paso 3 — Producto vectorial QP⃗ × v⃗. Calculando el determinante simbólico se obtiene un vector cuyos componentes hay que calcular con cuidado del signo. Resultado: QP⃗ × v⃗ = (6, 8, −4).
Paso 4 — Aplicar la fórmula de distancia.
d(P, r) = |QP⃗ × v⃗| / |v⃗|
|QP⃗ × v⃗| = √(36 + 64 + 16) = √116 ; |v⃗| = √(4 + 1 + 1) = √6.
Paso 5 — Resultado. d(P, r) = √116 / √6 = √(116/6) = √(58/3) ≈ 4,40 unidades.
Punto crítico: los correctores valoran que indiques explícitamente la fórmula antes de aplicarla. Hacer el cálculo "de memoria" sin escribir d = |QP × v| / |v| puede costarte 0,25 puntos aunque el número final sea correcto.
Ejemplo 4: integral con sustitución trigonométrica
Enunciado: calcula la integral definida ∫₀¹ x · √(1 − x²) dx.
Paso 1 — Reconocer el patrón. La presencia de √(1 − x²) sugiere sustitución trigonométrica x = sen(t), aunque aquí basta con cambio simple por la x que multiplica.
Paso 2 — Cambio de variable. Sea u = 1 − x². Entonces du = −2x dx, de donde x dx = −du/2.
Paso 3 — Cambiar los límites. Cuando x = 0 ⇒ u = 1 ; cuando x = 1 ⇒ u = 0.
Paso 4 — Sustituir y reordenar.
∫₀¹ x √(1 − x²) dx = ∫₁⁰ √u · (−du/2) = (1/2) ∫₀¹ u^(1/2) du
Paso 5 — Integrar y evaluar. (1/2) · [u^(3/2) / (3/2)] de 0 a 1 = (1/2) · (2/3) · 1 = 1/3.
Punto crítico: el error que más se ve en correcciones es olvidar cambiar los límites de integración al hacer la sustitución (o, alternativamente, deshacer el cambio antes de evaluar). Cualquiera de las dos vías es válida — combinarlas mal cuesta el ejercicio entero.
Ejemplo 5: probabilidad condicionada con árbol y teorema de Bayes
Enunciado: en una fábrica, la máquina A produce el 60% de las piezas y la máquina B el 40%. La proporción de defectos es del 2% en A y del 5% en B. Si una pieza tomada al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina B?
Paso 1 — Definir sucesos. A: pieza fabricada por A ; B: por B ; D: pieza defectuosa.
Paso 2 — Datos del enunciado. P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 ; P(D|A) = 0,02 ; P(D|B) = 0,05.
Paso 3 — Diagrama de árbol. Dibuja dos ramas principales (A y B) y, en cada una, dos subramas (defectuosa y no defectuosa). Multiplica probabilidades a lo largo de cada camino.
Paso 4 — Probabilidad total de defecto.
P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032
Paso 5 — Aplicar Bayes.
P(B|D) = P(B) · P(D|B) / P(D) = 0,020 / 0,032 = 0,625
Por tanto, hay un 62,5% de probabilidad de que la pieza defectuosa provenga de la máquina B.
Punto crítico: el error casi universal es confundir P(B|D) con P(D|B). El árbol obliga a explicitar el sentido del condicionamiento y bloquea ese fallo. Si quieres profundizar en otras tipologías y bloques del temario, en nuestra página de clases particulares de matemáticas verás cómo trabajamos cada bloque por niveles.
Verificación, gestión de tiempo y recuperación de bloqueos
Resolver bien los cinco tipos anteriores no basta si no controlas el reloj. En un examen tipo de 90 minutos (consulta el formato exacto de tu comunidad autónoma, ya que varía), el reparto orientativo es: 10-12 minutos por ejercicio + 8-10 minutos finales para revisión. Si superas 20 minutos en uno, márcalo, sigue y vuelve al final.
La verificación inversa es la herramienta de revisión más rentable: sustituye tu solución en la condición original. Si no se cumple, tienes pista directa de en qué paso estaba el error. Si se cumple, ganas confianza para soltar ese ejercicio y no tocarlo más.
Ante un bloqueo, no te quedes en blanco: escribe en el margen los datos del enunciado, las fórmulas relacionadas y la tipología que sospechas. Ese movimiento activa la memoria de trabajo y, en la mayoría de los casos, en menos de un minuto aparece la pista que te faltaba.
Cuándo merece la pena practicar con un profesor particular
Si has trabajado los cinco ejemplos de esta guía y aún sientes que no podrías reproducir uno equivalente bajo presión, es señal clara de que la práctica autónoma ha tocado techo. Un profesor particular externo identifica en una sola sesión qué paso concreto del protocolo no estás interiorizando — normalmente no es teoría, sino un automatismo de ejecución que solo se entrena con feedback inmediato.
El momento óptimo para reforzar es entre febrero y abril, cuando hay margen para reconstruir hábitos antes de los simulacros finales. En Eurekademy contamos con profesores particulares especializados en matemáticas de Selectividad, con 4,8★ en Google y 1.000+ alumnos preparados.
Preguntas frecuentes
¿Qué tipo de problemas matemáticos son más difíciles en Selectividad?
Los problemas con parámetros (álgebra) y los de optimización con restricciones (análisis) son los que más alumnos suspenden, seguidos de las integrales que requieren sustitución no inmediata. La probabilidad condicionada parece más fácil pero produce errores sistemáticos por inversión del condicionamiento.
¿Cuántos ejercicios resueltos paso a paso debo hacer antes del examen?
Una referencia útil: 25-30 ejercicios completos por cada tipología en los tres meses previos. Más importante que la cantidad es trabajarlos cronometrados y revisar cada error contra el protocolo de la sección correspondiente, no contra una solución memorizada.
¿Es mejor estudiar por bloques temáticos o por tipos de problema?
Para el PAU, por tipos de problema. El temario oficial cubre la teoría, pero los enunciados del examen mezclan bloques (ej. integrales que requieren primero un cambio algebraico). Estudiar por tipologías te entrena a reconocer el patrón de ejecución, que es lo que el tribunal evalúa de verdad.
¿Cómo evito quedarme en blanco con un problema que no he visto antes?
Aplica el paso 2 del protocolo: clasifica primero la tipología por las palabras clave del enunciado ("máximo", "perpendicular", "área entre curvas", "probabilidad de que..."). Una vez identificado el tipo, dispara la plantilla de ataque correspondiente. Los problemas "inéditos" del PAU casi siempre son combinaciones de dos tipologías conocidas.
¿Las calculadoras gráficas ayudan en estos problemas?
Solo si tu comunidad las permite — varias prohíben las programables o gráficas. Aunque estén autorizadas, los puntos del PAU se asignan al desarrollo escrito, no al resultado final. Una calculadora puede confirmar tu respuesta, pero el ejercicio se gana mostrando los pasos correctamente.
Si quieres practicar los cinco tipos de problema con seguimiento personalizado, puedes reservar tu primera clase con 50% de descuento aquí. Una sesión basta para diagnosticar qué tipología te frena más y construir un plan de ejecución para los meses previos a la EBAU.