Ejercicios Resueltos de Derivadas para la Selectividad 2026: Cálculo Paso a Paso

Guía de Derivación: Cómo Resolver Ejercicios Comunes y Complicados

Saber cómo calcular derivadas complicadas en bachillerato empieza por reconocer qué tipo de función tienes delante. Antes de aplicar ninguna regla, identifica la estructura: ¿es un producto, un cociente, una composición? Ese diagnóstico previo te ahorra la mitad de los errores.

En selectividad aparecen, año tras año, los mismos bloques de funciones. La tabla siguiente resume los tipos más frecuentes, la regla que corresponde y el error típico que comete el alumnado en cada uno.

Trabaja esta tabla como un checklist antes de cada ejercicio. Si localizas el tipo, ya sabes la regla; si conoces el error típico, ya sabes dónde revisar. Eso solo te puede dar décimas extra en el examen.

Un consejo práctico: resuelve los ejercicios resueltos de derivadas selectividad 2026 paso a paso en papel, sin saltar pasos. Los correctores valoran el desarrollo y pueden restar puntos aunque el resultado final sea correcto si la justificación está incompleta.

Ejercicios Resueltos Paso a Paso: Cálculo Visible

A continuación tienes cuatro ejercicios tipo selectividad resueltos con cada paso visible. La idea es que reproduzcas el desarrollo en tu cuaderno y compares justificación con justificación, no solo el resultado final.

Ejercicio 1 · Regla del producto + cadena

Calcula la derivada de f(x) = x²·sen(3x).

1. Identifica la estructura: producto de u(x) = x² y v(x) = sen(3x).
2. Deriva cada factor por separado: u'(x) = 2x; para v(x) = sen(3x) aplica la regla de la cadena con interior 3x: v'(x) = cos(3x)·3 = 3·cos(3x).
3. Aplica la regla del producto: f'(x) = u'·v + u·v' = 2x·sen(3x) + x²·3·cos(3x).
4. Simplifica: f'(x) = 2x·sen(3x) + 3x²·cos(3x). Puedes sacar factor común x: f'(x) = x·[2·sen(3x) + 3x·cos(3x)].

Ejercicio 2 · Regla del cociente con logaritmo neperiano

Calcula la derivada de f(x) = ln(x) / x.

1. Identifica un cociente con u(x) = ln(x) y v(x) = x.
2. Deriva cada parte: u'(x) = 1/x, v'(x) = 1.
3. Aplica la regla del cociente: f'(x) = (u'·v − u·v') / v² = ((1/x)·x − ln(x)·1) / x².
4. Opera el numerador: (1/x)·x = 1, así que queda f'(x) = (1 − ln(x)) / x².
5. Comprobación rápida: en x = 1, f'(1) = (1 − 0)/1 = 1, coherente con que ln(x)/x crece cerca de x = 1.

Ejercicio 3 · Cadena anidada (dos niveles)

Calcula la derivada de f(x) = e^(sen(x²)).

1. Hay tres capas: la exponencial exterior, el seno intermedio y el polinomio interior x².
2. Deriva la exterior dejando el argumento sin tocar: (e^u)' = e^u·u', con u = sen(x²).
3. Deriva el seno aplicando otra vez la cadena: (sen(x²))' = cos(x²)·2x.
4. Multiplica todas las contribuciones: f'(x) = e^(sen(x²))·cos(x²)·2x.
5. Reordena para presentación: f'(x) = 2x·cos(x²)·e^(sen(x²)).

Ejercicio 4 · Derivación implícita

Dada la curva x² + y² = 25, calcula dy/dx y evalúa la pendiente en el punto (3, 4).

1. Deriva ambos miembros respecto de x tratando y como función de x: 2x + 2y·(dy/dx) = 0.
2. Despeja dy/dx: dy/dx = −x / y.
3. Sustituye (3, 4): dy/dx = −3/4.
4. Interpretación: la recta tangente a la circunferencia en (3, 4) tiene pendiente −3/4, perpendicular al radio que une el centro con ese punto, como cabe esperar geométricamente.

Estos cuatro patrones (producto+cadena, cociente con logaritmo, cadena anidada y derivación implícita) cubren la inmensa mayoría de derivadas que aparecen en el examen. Si los dominas con cálculo visible, tienes asegurada la parte mecánica del bloque de análisis.

Aplicaciones de la Derivada en Selectividad: Extremos, Monotonía y Optimización

La derivada en sí casi nunca es la pregunta final del examen — es la herramienta para resolver el problema real: estudiar una función, encontrar máximos y mínimos, optimizar una magnitud o describir el comportamiento asintótico.

• Monotonía: resuelve f'(x) = 0, estudia el signo de f'(x) en cada intervalo y deduce dónde la función crece (f' > 0) o decrece (f' < 0).
• Extremos relativos: los puntos críticos son los x que anulan f'(x). Si f' cambia de positivo a negativo, hay máximo relativo; si cambia de negativo a positivo, mínimo relativo.
• Concavidad y puntos de inflexión: calcula f''(x), resuelve f''(x) = 0 y estudia el signo. f'' > 0 significa cóncava hacia arriba (convexa); f'' < 0, cóncava hacia abajo. El cambio de signo marca el punto de inflexión.
• Optimización: plantea la función a maximizar o minimizar a partir del enunciado, identifica la variable independiente y resuelve f'(x) = 0. Verifica con f''(x) o con el estudio del signo que el extremo es del tipo pedido (máximo o mínimo) y que pertenece al dominio del problema.
• Asíntotas oblicuas: existen cuando lim_x→±∞ f(x)/x = m es finito y no nulo, y lim_x→±∞ [f(x) − m·x] = n también lo es. La asíntota oblicua tiene ecuación y = m·x + n.

Mini-ejemplo de optimización: para inscribir un rectángulo de área máxima en un semicírculo de radio 1, planteas A(x) = 2x·√(1 − x²) con x ∈ (0, 1); derivas, igualas a cero y obtienes x = √2/2, que da un área máxima de 1 unidad cuadrada. Practica este tipo de planteamiento con problemas oficiales de tu comunidad — es el formato más rentable del bloque de aplicaciones.

Cómo Calcular Derivadas Complicadas en Bachillerato: Puntos a Considerar

Las derivadas que más sustos dan en examen no son las difíciles por sí solas, sino las que combinan varias reglas a la vez. Dominar esta combinación es la clave para resolver el cálculo de funciones con seguridad.

Antes de lanzarte a operar, ten en cuenta estos puntos críticos para evitar los errores más comunes en derivadas selectividad:

• Simplifica la función todo lo posible antes de derivar: factorizar o reescribir un cociente como producto puede convertir una derivada complicada en algo inmediato.
• Aplica las reglas en el orden correcto cuando coinciden producto y cadena: primero identifica la estructura exterior, luego aplica la cadena hacia dentro.
• Escribe la derivada de la función exterior evaluada en la interior antes de multiplicar por la derivada de la interior — no lo hagas todo a la vez o perderás el hilo.
• En funciones con logaritmos, recuerda que la base del logaritmo cambia la fórmula: [log_a(u)]' = u'/(u·ln a), no es lo mismo que la derivada del logaritmo neperiano.
• Cuando aparece una potencia con exponente variable (tipo x^x), necesitas logaritmar antes de derivar — es la técnica de derivación logarítmica y suele aparecer en exámenes de convocatorias como Andalucía o Madrid. Para potencias del tipo a^f(x) (base constante) basta con (aᵘ)' = aᵘ·ln(a)·u'.
• Comprueba el dominio de la función antes de operar: derivar una raíz cuadrada sin restringir el dominio a x ≥ 0 puede darte una solución válida matemáticamente pero incorrecta en el contexto del problema.
• Repasa la derivada de funciones inversas si tu comunidad autónoma incluye arcoseno, arcocoseno o arcotangente — la convocatoria de Cataluña, por ejemplo, los incorpora con cierta frecuencia.

Practica cada uno de estos puntos por separado antes de combinarlos. La curva de aprendizaje en derivación es muy clara: quien entrena de forma sistemática sube entre 1 y 2 puntos en el bloque de cálculo respecto a quien estudia de forma dispersa.

Errores Muy Comunes al Resolver Derivación en la Selectividad y Cómo Evitarlos

El error que más puntos cuesta en selectividad no es no saber la regla — es aplicarla mal por prisas. Conocer los fallos más repetidos te permite crear un filtro mental antes de pasar al siguiente ejercicio.

El primer gran fallo es no aplicar la regla de la cadena en las derivadas de funciones compuestas de 2º bachillerato. Muchos alumnos derivan correctamente la función exterior pero olvidan multiplicar por la derivada de la función interior. Por ejemplo, calculan la derivada de sen(x²) como cos(x²) cuando el resultado correcto es 2x·cos(x²). Ese olvido, en una pregunta de 2 puntos, puede suponer perder 1 punto entero.

El segundo error habitual es con la regla del cociente: invertir el orden del numerador. La fórmula es (u'v − uv')/v², no al revés. Para memorizarla, recuerda que el numerador empieza siempre por la derivada del numerador original.

El tercer error es algebraico, no de derivación propiamente: no simplificar el resultado. Los exámenes de selectividad otorgan puntuación a la simplificación correcta. Dejar factores comunes sin agrupar o no cancelar términos puede restar hasta 0,5 puntos según el baremo.

El cuarto fallo más frecuente es confundir derivada con primitiva. Bajo presión, algún alumno aplica la regla de integración en lugar de la de derivación. Si detectas que tu resultado es "más complicado" que la función original, para y revisa: una derivada de un polinomio siempre baja el grado, nunca lo sube.

La solución práctica a todos estos errores es la misma: revisa el ejercicio resuelto hacia atrás. Comprueba si al derivar el resultado obtienes algo razonable en comparación con la función de partida.

Cuándo Merece la Pena Reforzar el Cálculo con un Profesor Particular para Selectividad

Hay un momento muy claro en el que el trabajo en solitario deja de ser suficiente: cuando repites los mismos errores aunque hayas estudiado la teoría. Eso no es falta de esfuerzo — es falta de retroalimentación.

Un profesor particular de matemáticas detecta en una o dos sesiones exactamente dónde está el fallo conceptual. No en qué ejercicio te equivocas, sino por qué. Esa diferencia marca el antes y el después en la preparación para selectividad.

Vale especialmente la pena si te encuentras en alguna de estas situaciones:

• Llevas más de dos semanas trabajando derivadas y sigues sin consolidar la regla de la cadena o la del cociente.
• Tu nota en los simulacros de matemáticas oscila mucho entre convocatoria y convocatoria sin una tendencia clara de mejora.
• Tienes dudas sobre el bloque de análisis completo, no solo derivadas, y el examen se acerca en menos de seis semanas.

La ayuda personalizada no es un lujo para quien no estudia — es una inversión de tiempo para quien quiere optimizar lo que ya sabe. Con los profesores particulares de Eurekademy, que mantienen una valoración de 4,8★ en Google y han acompañado a 1.000+ alumnos, el enfoque siempre parte de tus errores reales, no de un temario genérico.

Preguntas Frecuentes sobre Derivadas y Cálculo para la Selectividad

¿Cómo evitar los errores más comunes al calcular derivadas complicadas en matemáticas de bachillerato?

La estrategia más efectiva es crear una lista personal de errores: cada vez que te equivoques en un ejercicio, anota exactamente qué regla aplicaste mal y por qué. Revisar esa lista antes de cada sesión de estudio entrena tu atención sobre los puntos débiles reales. Además, resuelve siempre los ejercicios en papel y comprueba el resultado sustituyendo un valor numérico sencillo para validar la derivada obtenida.

¿Qué tipo de ejercicios resueltos podrían ayudarme a prepararme mejor para mi examen de selectividad sobre cálculo de funciones?

Los más rentables son los ejercicios de exámenes oficiales de tu comunidad autónoma de los últimos cinco años. Trabaja primero los de función compuesta con logaritmo o exponencial, ya que combinan varias reglas y aparecen en casi todas las convocatorias. Después, pasa a los problemas de aplicación: máximos, mínimos y estudio completo de funciones, donde la derivada es una herramienta dentro de un problema más amplio.

¿Cuáles son las estrategias clave para abordar problemas avanzados de derivación y maximizar la nota en selectividad?

Primero, identifica el tipo de función antes de escribir nada. Segundo, desarrolla cada paso en una línea separada — los correctores puntúan el proceso. Tercero, si te atascas, simplifica la expresión algebraicamente antes de derivar. Cuarto, revisa el signo del resultado: un error de signo en la derivada de una trigonométrica o un logaritmo puede invalidar todo el ejercicio aunque el método sea correcto.

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