Exercicis Resolts de Derivades per a la Selectivitat 2026: Càlcul Pas a Pas

Guia de Derivació: Com Resoldre Exercicis Habituals i Complicats

Saber com calcular derivades complicades al batxillerat comença per reconèixer quin tipus de funció tens davant. Abans d'aplicar cap regla, identifica l'estructura: és un producte, un quocient, una composició? Aquest diagnòstic previ t'estalvia la meitat dels errors.

A la selectivitat apareixen, any rere any, els mateixos blocs de funcions. La taula següent resumeix els tipus més freqüents, la regla que correspon i l'error típic que comet l'alumnat en cada cas.

Treballa aquesta taula com un llistat de verificació abans de cada exercici. Si localitzes el tipus, ja saps la regla; si coneixes l'error típic, ja saps on revisar. Això sol et pot donar dècimes extra a l'examen.

Un consell pràctic: resol els exercicis resolts de derivades per a la selectivitat 2026 pas a pas en paper, sense saltar-te passos. Els correctors valoren el desenvolupament i poden restar punts encara que el resultat final sigui correcte si la justificació és incompleta.

Exercicis Resolts Pas a Pas: Càlcul Visible

A continuació tens quatre exercicis tipus selectivitat resolts amb cada pas visible. La idea és que reprodueixis el desenvolupament al teu quadern i comparis justificació amb justificació, no només el resultat final.

Exercici 1 · Regla del producte + cadena

Calcula la derivada de f(x) = x²·sen(3x).

1. Identifica l'estructura: producte de u(x) = x² i v(x) = sen(3x).
2. Deriva cada factor per separat: u'(x) = 2x; per a v(x) = sen(3x) aplica la regla de la cadena amb interior 3x: v'(x) = cos(3x)·3 = 3·cos(3x).
3. Aplica la regla del producte: f'(x) = u'·v + u·v' = 2x·sen(3x) + x²·3·cos(3x).
4. Simplifica: f'(x) = 2x·sen(3x) + 3x²·cos(3x). Pots treure factor comú x: f'(x) = x·[2·sen(3x) + 3x·cos(3x)].

Exercici 2 · Regla del quocient amb logaritme neperià

Calcula la derivada de f(x) = ln(x) / x.

1. Identifica un quocient amb u(x) = ln(x) i v(x) = x.
2. Deriva cada part: u'(x) = 1/x, v'(x) = 1.
3. Aplica la regla del quocient: f'(x) = (u'·v − u·v') / v² = ((1/x)·x − ln(x)·1) / x².
4. Opera el numerador: (1/x)·x = 1, així que queda f'(x) = (1 − ln(x)) / x².
5. Comprovació ràpida: en x = 1, f'(1) = (1 − 0)/1 = 1, coherent amb el fet que ln(x)/x creix prop de x = 1.

Exercici 3 · Cadena niada (dos nivells)

Calcula la derivada de f(x) = e^(sen(x²)).

1. Hi ha tres capes: l'exponencial exterior, el sinus intermedi i el polinomi interior x².
2. Deriva l'exterior deixant l'argument intacte: (e^u)' = e^u·u', amb u = sen(x²).
3. Deriva el sinus aplicant un altre cop la cadena: (sen(x²))' = cos(x²)·2x.
4. Multiplica totes les contribucions: f'(x) = e^(sen(x²))·cos(x²)·2x.
5. Reordena per a la presentació: f'(x) = 2x·cos(x²)·e^(sen(x²)).

Exercici 4 · Derivació implícita

Donada la corba x² + y² = 25, calcula dy/dx i avalua el pendent al punt (3, 4).

1. Deriva ambdós membres respecte de x tractant y com a funció de x: 2x + 2y·(dy/dx) = 0.
2. Aïlla dy/dx: dy/dx = −x / y.
3. Substitueix (3, 4): dy/dx = −3/4.
4. Interpretació: la recta tangent a la circumferència a (3, 4) té pendent −3/4, perpendicular al radi que uneix el centre amb aquest punt, com és d'esperar geomètricament.

Aquests quatre patrons (producte+cadena, quocient amb logaritme, cadena imbricada i derivació implícita) cobreixen la immensa majoria de derivades que apareixen a l'examen. Si els domines amb càlcul visible, tens assegurada la part mecànica del bloc d'anàlisi.

Aplicacions de la Derivada a la Selectivitat: Extrems, Monotonia i Optimització

La derivada per si mateixa gairebé mai no és la pregunta final de l'examen — és l'eina per resoldre el problema real: estudiar una funció, trobar màxims i mínims, optimitzar una magnitud o descriure el comportament asimptòtic.

• Monotonia: resol f'(x) = 0, estudia el signe de f'(x) a cada interval i dedueix on la funció creix (f' > 0) o decreix (f' < 0).
• Extrems relatius: els punts crítics són els x que anul·len f'(x). Si f' canvia de positiu a negatiu, hi ha màxim relatiu; si canvia de negatiu a positiu, mínim relatiu.
• Concavitat i punts d'inflexió: calcula f''(x), resol f''(x) = 0 i estudia el signe. f'' > 0 vol dir còncava cap amunt (convexa); f'' < 0, còncava cap avall. El canvi de signe marca el punt d'inflexió.
• Optimització: planteja la funció a maximitzar o minimitzar a partir de l'enunciat, identifica la variable independent i resol f'(x) = 0. Verifica amb f''(x) o amb l'estudi del signe que l'extrem és del tipus demanat (màxim o mínim) i que pertany al domini del problema.
• Asímptotes obliqües: existeixen quan lim_x→±∞ f(x)/x = m és finit i no nul, i lim_x→±∞ [f(x) − m·x] = n també ho és. L'asímptota obliqua té equació y = m·x + n.

Mini-exemple d'optimització: per inscriure un rectangle d'àrea màxima en un semicercle de radi 1, planteges A(x) = 2x·√(1 − x²) amb x ∈ (0, 1); derives, iguales a zero i obtens x = √2/2, que dóna una àrea màxima d'1 unitat quadrada. Practica aquest tipus de plantejament amb problemes oficials de la teva comunitat — és el format més rendible del bloc d'aplicacions.

Com Calcular Derivades Complicades al Batxillerat: Punts Clau a Tenir en Compte

Les derivades que més maldecaps donen a l'examen no són les difícils per si soles, sinó les que combinen diverses regles alhora. Dominar aquesta combinació és la clau per resoldre el càlcul de funcions amb seguretat.

Abans de llançar-te a operar, tingues en compte aquests punts crítics per evitar els errors més comuns en derivades a la selectivitat:

• Simplifica la funció al màxim abans de derivar: factoritzar o reescriure un quocient com a producte pot convertir una derivada complicada en quelcom immediat.
• Aplica les regles en l'ordre correcte quan coincideixen producte i cadena: primer identifica l'estructura exterior, després aplica la cadena cap a dins.
• Escriu la derivada de la funció exterior avaluada en la interior abans de multiplicar per la derivada de la interior — no ho facis tot alhora o perdràs el fil.
• En funcions amb logaritmes, recorda que la base canvia la fórmula: [log_a(u)]' = u'/(u·ln a), no és el mateix que la derivada del logaritme neperià.
• Quan apareix una potència amb exponent variable (tipus x^x), cal logaritmar abans de derivar — és la tècnica de derivació logarítmica i sol aparèixer en convocatòries com les d'Andalusia o Madrid. Per a potències del tipus a^f(x) (base constant) n'hi ha prou amb (aᵘ)' = aᵘ·ln(a)·u'.
• Comprova el domini de la funció abans d'operar: derivar una arrel quadrada sense restringir el domini a x ≥ 0 pot donar-te una solució vàlida matemàticament però incorrecta en el context del problema.
• Repassa la derivada de funcions inverses si la teva comunitat autònoma inclou arcsinus, arccosinus o arctangent — la convocatòria de Catalunya, per exemple, els incorpora amb certa freqüència.

Practica cadascun d'aquests punts per separat abans de combinar-los. La corba d'aprenentatge en derivació és molt clara: qui entrena de manera sistemàtica puja entre 1 i 2 punts en el bloc de càlcul respecte a qui estudia de forma dispersa.

Errors Molt Comuns en Resoldre Derivades a la Selectivitat i Com Evitar-los

L'error que més punts costa a la selectivitat no és no saber la regla — és aplicar-la malament per les presses. Conèixer les fallades més repetides et permet crear un filtre mental abans de passar al següent exercici.

El primer gran error és no aplicar la regla de la cadena en les derivades de funcions compostes de 2n de batxillerat. Molts estudiants deriven correctament la funció exterior però obliden multiplicar per la derivada de la funció interior. Per exemple, calculen la derivada de sen(x²) com cos(x²) quan el resultat correcte és 2x·cos(x²). Aquesta omissió, en una pregunta de 2 punts, pot suposar perdre 1 punt sencer.

El segon error habitual és amb la regla del quocient: invertir l'ordre del numerador. La fórmula és (u'v − uv')/v², no al revés. Per memoritzar-la, recorda que el numerador comença sempre per la derivada del numerador original.

El tercer error és algebraic, no de derivació pròpiament: no simplificar el resultat. Els exàmens de selectivitat atorguen puntuació a la simplificació correcta. Deixar factors comuns sense agrupar o no cancel·lar termes pot restar fins a 0,5 punts segons el barem.

El quart error més freqüent és confondre derivada amb primitiva. Sota pressió, algun estudiant aplica la regla d'integració en lloc de la de derivació. Si detectes que el teu resultat és "més complicat" que la funció original, para i revisa: la derivada d'un polinomi sempre baixa el grau, mai no el puja.

La solució pràctica a tots aquests errors és la mateixa: revisa l'exercici resolt cap enrere. Comprova si en derivar el resultat obtens quelcom raonable en comparació amb la funció de partida.

Quan Val la Pena Reforçar el Càlcul amb un Professor Particular per a la Selectivitat

Hi ha un moment molt clar en què el treball en solitari deixa de ser suficient: quan repeteixes els mateixos errors tot i haver estudiat la teoria. Això no és manca d'esforç — és manca de retroalimentació.

Un professor o professora particular de matemàtiques detecta en una o dues sessions exactament on és la fallada conceptual. No en quin exercici t'equivoques, sinó per què. Aquesta diferència marca l'abans i el després en la preparació per a la selectivitat.

Val especialment la pena si et trobes en alguna d'aquestes situacions:

• Portes més de dues setmanes treballant derivades i encara no has consolidat la regla de la cadena o la del quocient.
• La teva nota als simulacres de matemàtiques oscil·la molt entre convocatòria i convocatòria sense una tendència clara de millora.
• Tens dubtes sobre el bloc d'anàlisi complet, no només derivades, i l'examen s'acosta en menys de sis setmanes.

L'ajuda personalitzada no és un luxe per a qui no estudia — és una inversió de temps per a qui vol optimitzar el que ja sap. Amb els professors particulars d'Eurekademy, que mantenen una valoració de 4,8★ a Google i han acompanyat 1.000+ alumnes, l'enfocament sempre parteix dels teus errors reals, no d'un temari genèric.

Preguntes freqüents

Com evitar els errors més comuns en calcular derivades complicades a les matemàtiques de batxillerat?

L'estratègia més efectiva és crear una llista personal d'errors: cada cop que t'equivoquis en un exercici, anota exactament quina regla has aplicat malament i per què. Repassar aquesta llista abans de cada sessió d'estudi entrena la teva atenció sobre els punts febles reals. A més, resol sempre els exercicis en paper i comprova el resultat substituint un valor numèric senzill per validar la derivada obtinguda.

Quins exercicis resolts em poden ajudar a preparar millor l'examen de selectivitat sobre càlcul de funcions?

Els més rendibles són els exercicis d'exàmens oficials de la teva comunitat autònoma dels últims cinc anys. Treballa primer els de funció composta amb logaritme o exponencial, ja que combinen diverses regles i apareixen en gairebé totes les convocatòries. Després, passa als problemes d'aplicació: màxims, mínims i estudi complet de funcions, on la derivada és una eina dins d'un problema més ampli.

Quines són les estratègies clau per abordar problemes avançats de derivació i maximitzar la nota a la selectivitat?

Primer, identifica el tipus de funció abans d'escriure res. Segon, desenvolupa cada pas en una línia separada — els correctors puntuen el procés. Tercer, si t'encalles, simplifica l'expressió algebraicament abans de derivar. Quart, revisa el signe del resultat: un error de signe en la derivada d'una trigonomètrica o un logaritme pot invalidar tot l'exercici encara que el mètode sigui correcte.

Si vols posar tot això en pràctica amb un professor particular que adapti els exercicis al teu nivell real, a Eurekademy oferim una 1a classe al 50% de descompte sense compromís. Pots veure més recursos i enfocaments de preparació a la nostra pàgina de classes particulars de matemàtiques o reservar directament des d'aquí.

Reserva la teva 1a classe al 50% de descompte