Examen de Matemáticas II de selectividad — La Rioja 2022

Ejercicio 1

(2 puntos) Dada la curva $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 4$

(i) Halla los puntos de la curva en los que la recta tangente a ésta pase por el punto $(0, 0)$.

(ii) Da las ecuaciones de las rectas tangentes.

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Ejercicio 2

(2 puntos) Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función $g(x) = x \operatorname{sen} x$ y el eje de las abscisas en el intervalo que va de $x = 0$ al menor valor $b > 0$ tal que $g(b) = 0$.

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Ejercicio 3

(2 puntos) Determina, si existe, el valor de $a$ de tal manera que:

(i) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)\right) = 2.$

(ii) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x + a}{3x - 1}\right)^x = e.$

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Ejercicio 4

(2 puntos) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado.

$$\begin{cases} x + y + az = a, \\ ax + ay + z = 1, \\ x + ay + z = a. \end{cases}$$

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Ejercicio 5

(2 puntos) Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.$$

(i) Determina para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa.

(ii) Resuelve para $a = 0$ la ecuación matricial $ABX = 3I$, siendo $I$ la matriz identidad.

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Ejercicio 6

(2 puntos) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es solución del sistema

$$\begin{cases} 2ax + by + z = 3c, \\ 3x - 2by - 2cz = a, \\ 5ax - 2y + cz = -4b. \end{cases}$$

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Ejercicio 7

(2 puntos) Halla la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y que contenga al punto $P(1, 0, 1)$. ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

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Ejercicio 8

(2 puntos) Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el plano $\pi$ contenga a la recta $r$, donde:

$$\pi \equiv ax + y + z = b, \qquad r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1, \\ -x - 2y + z = 0. \end{cases}$$

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Ejercicio 9

(2 puntos) En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20 % estudian Matemáticas, el 35 % Medicina y el 45 % Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5 %, 12 % y del 18 %. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que:

(i) finalice sus estudios;

(ii) estudie Medicina si no finaliza sus estudios.

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Ejercicio 10

(2 puntos) Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcula el valor de $a$ para que:

$$P(4 - a \leq X \leq 4 + a) = 0{,}5934.$$

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

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Tabla simplificada de la distribución normal tipificada

$z$	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817