Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2022

Matemàtiques — Sèrie 2 (2022)

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

---

Qüestió 1

Sigui $f'(x) = 3x^2 - 12x$ la derivada d'una funció $f(x)$.

a) Si sabem que $f(x)$ talla l'eix de les abscisses en $x = 1$, calculeu l'expressió de la funció $f(x)$.
[0,75 punts]

b) Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de $f(x)$ i estudieu la concavitat de la funció.
[0,75 punts]

c) Sabem que l'àrea del recinte limitat per la corba $y = f''(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = a$, amb $a > 2$, és $15\,u^2$. Calculeu el valor de $a$.
[1 punt]

---

Qüestió 2

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} ax + 2y + 3z = 2 \\ 2x + ay + z = a \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $a$.
[1,5 punts]

b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $a = 2$.
[1 punt]

---

Qüestió 3

Sigui la recta $r$ definida per l'expressió següent:

$$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

a) Determineu la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla $\pi: x - 2y + 4z - 4 = 0$. Si és paral·lela, calculeu la distància de $r$ a $\pi$, i si és secant, calculeu el punt de tall.
[1,25 punts]

b) Calculeu l'equació de la recta $s$ perpendicular al pla $\pi$ i que talla la recta $r$ en un punt $P$, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona.
[1,25 punts]

---

Qüestió 4

a) Trobeu una funció polinòmica $y = g(x)$ de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt $(0, 5)$, que la recta tangent a $y = g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$ sigui horitzontal i que $g''(x) = 2x + 1$.
[1 punt]

b) Comproveu que la funció $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16$ té una arrel a $x = 2$ i que és estrictament creixent a l'interval $(0, 4)$. Utilitzeu aquesta informació per a calcular l'àrea determinada per la funció $f(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 4$.
[1,5 punts]

---

Qüestió 5

Sigui la matriu $X = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$, que depèn dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

a) Calculeu les matrius $X$ tals que $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
[1,5 punts]

b) Determineu els valors de $a$, $b$ i $c$ perquè la matriu inversa de $X$ sigui $X^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
[1 punt]

---

Qüestió 6

Al pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de $30\,\text{m}^2$ per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases ($D$) sigui tan curt com sigui possible.

[GRÀFICO (p.12): Trapezi rectangular amb base superior $x$, base inferior $2x$, altura $h$ i costat oblic $D$]

a) Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: $h = \dfrac{20}{x}$ i $D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}$.
[1 punt]

b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat $D$ és mínima.
[1,5 punts]

---

---

Matemàtiques — Sèrie 5 (2022)

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

---

Qüestió 1

Siguin les matrius $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ i $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Comproveu que $C^3 = I_2$, en què $I_2$ és la matriu identitat d'ordre 2, i deduïu que la matriu $C$ és invertible i que $C^{-1} = C^2$. Calculeu $C^{2022}$.
[1,5 punts]

b) Resoleu l'equació matricial $C \cdot X = A - 2I_2$.
[1 punt]

---

Qüestió 2

Considereu la funció $f(x) = x^3$ i sigui $a$ un nombre real estrictament positiu.

a) Calculeu l'equació de la recta $t$ tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x = a$. Trobeu el punt de tall de la recta $t$ amb l'eix de les abscisses (en funció de $a$).
[1,25 punts]

b) Feu un esbós de la gràfica de la funció $f$ i la recta $t$. Calculeu el valor de $a$ perquè l'àrea en el primer quadrant limitada per la funció $f$, la recta $t$ i l'eix de les abscisses sigui $108\,u^2$.
[1,25 punts]

---

Qüestió 3

Considereu el sistema d'equacions lineals

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \\ my + (3-m)z = -6 \\ 2x - y + mz = 6 \end{cases}$$

en què $m$ és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $m$.
[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema, si és possible, quan $m = 0$ i quan $m = 3$. En cada cas, doneu la posició relativa dels tres plans a $\mathbb{R}^3$.
[1,25 punts]

---

Qüestió 4

A $\mathbb{R}^2$, considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts $O = (0,\,0)$, $A = (x,\,0)$ i $B = (0,\,y)$, amb $x > 0$ i $y > 0$, i en què la suma dels catets és 10.

a) Expresseu l'àrea del triangle $AOB$ en funció de $x$. Per a quin valor de $x$ l'àrea del triangle $AOB$ és la més gran possible? Quin valor té aquesta àrea màxima?
[1,25 punts]

b) Expresseu la hipotenusa del triangle $AOB$ en funció de $x$. Per a quin valor de $x$ la hipotenusa del triangle $AOB$ és la més petita possible? Quin és aquest valor mínim?
[1,25 punts]

---

Qüestió 5

Siguin els punts $A = (0,\,0,\,1)$, $B = (1,\,1,\,1)$, $C = (-1,\,-1,\,1)$ i $D = (1,\,0,\,1)$.

a) Comproveu que tres d'aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l'equació contínua i l'equació paramètrica de la recta que defineixen.
[1,25 punts]

b) Calculeu l'equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts.
[1,25 punts]

---

Qüestió 6

La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació $f(x) = 0$ en un interval $(a, b)$, sabent que $f(a) \cdot f(b) < 0$. La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l'equació $x + \ln(x) = 0$ entre els valors $a = 0{,}5$ i $b = 2$.

Esquema del programa	Exemple
1. Escriure «Introduïu un valor $a$»	L'usuari introdueix $a = 0{,}5$
2. Escriure «Introduïu un valor $b$»	L'usuari introdueix $b = 2$
3. Escriure «Introduïu una funció $f(x)$»	L'usuari introdueix $f(x) = x + \ln(x)$
4. Calcular $c = (a+b)/2$	El programa calcula la mitjana entre $a$ i $b$ i li assigna el nom $c = (0{,}5 + 2)/2 = 1{,}25$
5. Si $f(a) * f(c) < 0$, aleshores reassignar $b = c$; en cas contrari, reassignar $a = c$	El programa comprova que $f(0{,}5) * f(1{,}25) = (0{,}5 + \ln(0{,}5)) * (1{,}25 + \ln(1{,}25)) < 0$; per tant, reassigna $b = 1{,}25$
6. Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins que $f(a) - f(b) < 0{,}00000001$	El programa va repetint la comprovació anterior, canviant cada vegada els valors de $a$ o de $b$: inici: $a = 0{,}5$, $b = 2$ / it. 1: $a = 0{,}5$, $b = 1{,}25$ / it. 2: $a = 0{,}5$, $b = 0{,}875$ / it. 3: $a = 0{,}5$, $b = 0{,}6875$ / it. 4: $a = 0{,}5$, $b = 0{,}59375$ / it. 5: $a = 0{,}546875$, $b = 0{,}59375$ / it. 6: $a = 0{,}546875$, $b = 0{,}5703125$ / it. 7: $a = 0{,}55859375$, $b = 0{,}5703125$ / $[\ldots]$
7. Quan $f(a) - f(b) < 0{,}00000001$, escriure: «La solució de l'equació és $c$» i aturar el programa	Després d'unes 30 iteracions, el programa escriu: «La solució de l'equació és $0{,}56714329$»

a) Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l'equació $x + \ln(x) = 0$ entre els valors $a = 0{,}5$ i $b = 2$.
[1,25 punts]

b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ amb valors de $a$ i $b$ diferents. Trobeu justificadament entre quins valors $a$ i $b$, per a cada arrel, hem d'aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció.
[1,25 punts]