Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Castella-la Manxa 2026

Prueba de acceso a la Universidad

Curso 2025/2026

Materia: Matemáticas II

INSTRUCCIONES: El estudiante deberá resolver obligatoriamente las preguntas 1 a 3, y elegir una opción de las dos propuestas en la pregunta 4 y 5. Es decir, en las preguntas 4 y 5, contestará UNA sola de las opciones propuestas. Si resuelve más, se corregirá solo el primero de los dos apartados resueltos. Las respuestas a los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando dichas respuestas, ya que se valorará en estas y en los procedimientos desarrollados el rigor matemático. Su falta se podrá penalizar con hasta 1 punto en todo el examen. Solo se permite el uso de calculadoras de tipo 1 y 2, tal y como se indica en la información de las pruebas. Cada ejercicio completo puntuará 2 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.

PARTE A (preguntas 1, 2 y 3). Conteste TODAS las preguntas de esta parte

Ejercicio 1 (Pregunta 1)

Durante la misión Dulcinea, el equipo de control clasifica las alertas técnicas detectadas a bordo en tres sistemas: sistema de navegación, que genera el 50% de las alertas, el sistema de comunicaciones, que genera el 30% de las alertas y el sistema de soporte vital, que genera el 20% de las alertas.

Además, se sabe que el 4% de las alertas de navegación, el 6% de las de comunicaciones y el 10% de las alertas de soporte vital, son críticas. Si se elige una alerta al azar.

a) [1 punto] Calcula la probabilidad de que la alerta sea crítica.

b) [1 punto] Sabiendo que la alerta no es crítica, calcula la probabilidad de que proceda del soporte vital.

Ejercicio 2 (Pregunta 2)

Durante una campaña de promoción de productos de Castilla-La Mancha, una empresa dedicada a la venta de azafrán estima que el beneficio diario obtenido, expresado en cientos de euros, viene dado por la función:

$$B(x) = 80x \cdot e^{-0,5x}$$

Donde x representa el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña

a) [1,25 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función $B(x)$ y determina el día en que el beneficio diario es máximo

b) [0,75 puntos] A largo plazo, ¿tiende el beneficio diario a estabilizarse en algún valor? En caso afirmativo determina dicho valor e interprételo en el contexto del problema.

Ejercicio 3 (Pregunta 3)

a) [1 punto] Determina los valores de $a$ y $b$ para que las matrices A y B cumplan que A∙B=I, donde I es la matriz identidad de orden 3.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

b) [1 punto] Resuelve razonadamente el siguiente sistema de ecuaciones $\begin{cases} X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \\ 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \end{cases}$

PARTE B (preguntas 4 y 5)

Ejercicio 4 (Pregunta 4. Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2))

4.1. Dados los vectores $\vec{u} = (1, -1, a)$, $\vec{v} = (2, a, 1)$ y $\vec{w} = (-1, 1, -1)$, se pide:

a) [0,75 puntos] Halla los valores reales de $a$ para que los tres vectores sean coplanarios. Justifica tu respuesta.

b) [1,25 puntos] Halla los valores reales de $a$ para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores del enunciado sea 10 u³.

4.2. [2 puntos] En un parque público, se está instalando un sistema de vigilancia mediante sensores de movimiento a ambos lados de un muro recto. Dicho muro está representado por el plano de ecuación:

$$\pi \equiv x + y + z - 6 = 0.$$

Uno de los sensores está situado en el punto de coordenadas P(1,2,6) y se desea instalar un segundo sensor en el punto P', simétrico del anterior respecto del plano $\pi$.

a) [1,25 puntos] Determina razonadamente las coordenadas del punto de instalación del segundo sensor, P'.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre los dos sensores.

Ejercicio 5 (Pregunta 5. Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2))

5.1.

a) [1 punto] Calcula justificadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{2x+1}{2x-3}\right)^x$

b) [1 punto] Calcula justificadamente la siguiente integral: $\int e^x \cdot senx\, dx$

5.2. [2 puntos] Sea la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & si\ x < 1 \\ ax + b & si\ x \geq 1 \end{cases}$, donde $a$ y $b$ son números reales. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en x=1