Per què avui tornem a parlar de John Venn
Un 4 d'agost de 1834 va néixer a Hull (Anglaterra) John Venn, matemàtic i lògic. No va inventar del no-res la idea de representar conjunts amb cercles —ja l'havien temptejat Euler i d'altres—, però va ser ell qui la va formalitzar i popularitzar a la seva obra Symbolic Logic (1881), desenvolupant les idees de lògica de George Boole. Va viure gairebé 88 anys i va morir el 1923, però el seu dibuix s'ha quedat amb nosaltres gairebé 200 anys després. Pots llegir-ne la biografia a MacTutor, l'arxiu d'història de les matemàtiques de la Universitat de St Andrews.
El curiós és que un recurs tan senzill hagi sobreviscut tant: apareix a exàmens de l'ESO, a classe de probabilitat, a filosofia quan s'estudia lògica i fins i tot als mems d'internet. La raó és que fa una cosa que al nostre cervell li costa: veure d'un cop d'ull què tenen en comú dos grups i què no.
Què hi ha al darrere: què és de debò un diagrama de Venn
Un diagrama de Venn representa conjunts (grups de coses) com a cercles dins d'un rectangle que és "tot el que existeix" en aquell problema (el conjunt universal). Allà on dos cercles se solapen hi van els elements que pertanyen als dos alhora. Amb aquesta idea tan bàsica es defineixen les operacions que veuràs una vegada i una altra:
| Operació | Símbol | Què significa |
|---|---|---|
| Unió | A ∪ B | És a A, a B o als dos |
| Intersecció | A ∩ B | És a A i a B alhora (la zona solapada) |
| Diferència | A − B | És a A però no a B |
| Complementari | A' | Tot el que NO és a A |
Imagina una classe de 30 alumnes. Saps que 18 estudien anglès, 14 estudien francès i 6 estudien els dos idiomes. Quants no n'estudien cap dels dos? Aquí és on el diagrama et salva. Dibuixa dos cercles que es creuen i comença pel centre:
- A la intersecció (els dos idiomes) hi poses 6.
- Només anglès: 18 − 6 = 12. Només francès: 14 − 6 = 8.
- Sumes les tres zones: 12 + 6 + 8 = 26 n'estudien almenys un.
- Els que no n'estudien cap: 30 − 26 = 4.
Fixa't que el 20% de la classe (aquests 6 alumnes) quedava comptat dues vegades si sumaves 18 + 14 sense pensar. Aquest és exactament l'error que el diagrama evita, i la idea que a matemàtiques s'anomena principi d'inclusió-exclusió.
Com ho veuries a classe (i els errors que més cauen)
A l'ESO els diagrames de Venn apareixen en estudiar conjunts i, poc després, als primers problemes de probabilitat: la probabilitat que passi A o B es calcula sumant i després restant la zona comuna, igual que amb els idiomes. Al Batxillerat reapareixen a probabilitat i a filosofia, dins la lògica. Aquests són els errors que un professor veu corregir un cop i un altre:
- Comptar dues vegades la intersecció. L'error estrella: sumar els totals de cada cercle oblidant que la zona central ja hi és inclosa als dos.
- Començar per fora. Si omples primer els totals i no el centre, t'emboliques. Sempre es comença per la intersecció i es va cap enfora.
- Confondre "i" amb "o". En llenguatge normal es fan servir sense cura, però en un diagrama "i" és la intersecció i "o" és la unió: no és el mateix.
- Oblidar l'univers. Els qui no són a cap cercle també compten; van a fora, dins del rectangle.
Un truc que funciona: si un problema diu "almenys un", "cap", "només A" o "els dos", gairebé segur que es resol amb un Venn. Tan bon punt el dibuixes, un enunciat que semblava impossible s'ordena sol en dos o tres passos.
Quan val la pena un professor particular
Els diagrames de Venn són fàcils d'entendre però traïdors a l'hora d'aplicar-los: molts alumnes els veuen "obvis" i després perden punts a l'examen per comptar malament les zones. Si notes que entens la teoria però falles als problemes, un professor particular t'ensenya a llegir l'enunciat i traduir-lo al dibuix, que és on de debò es juga la nota. En dues o tres setmanes de pràctica guiada es nota el canvi.
A Eurekademy treballem amb professors que preparen matemàtiques d'ESO i Batxillerat, amb una valoració de 4,8★ a Google i la primera classe amb 50% de descompte perquè ho provis sense arriscar. Si vols reforçar conjunts, probabilitat o qualsevol altre bloc, fes un cop d'ull a les nostres classes particulars de matemàtiques i comença per on més se't complica.