Què és una equació de primer grau
Una equació de primer grau és una igualtat amb una incògnita (normalment x) que apareix elevada només a la 1, mai al quadrat ni sota una arrel. Resoldre-la vol dir trobar el valor de x que fa que els dos costats de la igualtat valguin el mateix.
Pensa-hi com una balança en equilibri: el signe igual és el fidel, i a l'esquerra i a la dreta hi ha el mateix pes. Pots fer el que vulguis —sumar, restar, multiplicar, dividir— sempre que ho facis als dos costats alhora. Si toques només un, la balança es desnivella i la igualtat deixa de ser certa.
Aquest principi és tota la teoria que et cal. La resta és mètode i pràctica: en un examen tipus, les equacions valen fins a 2 punts sobre 10 i són dels pocs apartats on pots treure la nota sencera si no falles als càlculs.
El mètode de 4 passos per resoldre-la
Gairebé qualsevol equació de primer grau es resol amb aquesta seqüència fixa. Aprèn-la en aquest ordre i aplica-la sempre igual:
- Treu parèntesis i denominadors. Aplica la propietat distributiva i, si hi ha fraccions, multiplica-ho tot pel mínim comú múltiple dels denominadors.
- Agrupa. Passa tots els termes amb x a un costat i tots els nombres a l'altre.
- Redueix. Suma o resta els termes semblants de cada costat fins a deixar
ax = b. - Aïlla. Divideix els dos costats entre el nombre que multiplica la x.
Vegem l'exemple més senzill, 3x + 5 = 20. No hi ha parèntesis ni fraccions, així que comencem agrupant: restem 5 als dos costats i queda 3x = 15. Ara aïllem dividint entre 3 a banda i banda: x = 5. Per comprovar-ho, substituïm a l'equació original: 3 · 5 + 5 = 20. Correcte.
Dos exemples resolts: parèntesis i fraccions
Els dos casos que més s'entravessen són els parèntesis i les fraccions. Aquí en tens un de cada, resolt sense saltar-nos cap pas.
Amb parèntesis: 2(x - 3) = x + 4. Primer traiem el parèntesi multiplicant: 2x - 6 = x + 4. Agrupem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta: 2x - x = 4 + 6. Reduïm: x = 10. Comprovació: 2(10 - 3) = 14 i 10 + 4 = 14. Quadra.
Amb fraccions: x/2 + 1 = x/3 + 2. El mínim comú múltiple de 2 i 3 és 6, així que multipliquem tots els termes per 6: 3x + 6 = 2x + 12. Agrupem: 3x - 2x = 12 - 6, és a dir x = 6. Comprovació: 6/2 + 1 = 4 i 6/3 + 2 = 4. També quadra.
La regla d'or en moure un terme d'un costat a l'altre és que canvia de signe. Aquesta taula resumeix què li passa a cada operació en creuar l'igual:
| En un costat apareix… | En passar a l'altre costat es converteix en… |
|---|---|
| Sumant (+3) | Restant (−3) |
| Restant (−5) | Sumant (+5) |
| Multiplicant (·4) | Dividint (÷4) |
| Dividint (÷2) | Multiplicant (·2) |
Els errors que més nota treuen
Corregint exàmens es veu sempre el mateix: la majoria dels suspensos en aquest tema no vénen de no saber el mètode, sinó de fallades de signe i de càlcul. Aquests són els més freqüents i com evitar-los:
- Canviar el signe només d'un terme. Si multipliques pel mínim comú múltiple, has de multiplicar tots els termes, també els que ja no tenen denominador.
- El menys davant del parèntesi. A
-(x - 4)el resultat és-x + 4, no-x - 4. Aquesta fallada apareix en prop del 70% dels exàmens que suspenen l'apartat. - Dividir malament en aïllar. A
5x = 3la solució ésx = 3/5, nox = 5/3. Divideix sempre entre el nombre que acompanya la x. - No comprovar la solució. Substituir la x a l'equació original triga 30 segons i et diu si has encertat. És l'hàbit que més punts salva.
Un truc d'examen: dedica els últims 2 minuts de cada equació a comprovar. En una prova de matemàtiques de l'ESO, comprovar sistemàticament pot pujar-te mig punt de mitjana al llarg del curs.
Quan val la pena un professor particular de matemàtiques
Amb aquestes equacions passa una cosa: si arrossegues una fallada de base (els signes, les fraccions), la repeteixes a tots els exercicis i no entens per què sempre et surt malament. Un professor detecta aquesta fallada concreta a la primera sessió, una cosa que estudiant sol et pot portar setmanes.
Té sentit buscar ajuda quan portes uns quants controls seguits suspenent mates, quan l'àlgebra et bloqueja també a física, o quan ets a 3r o 4t de l'ESO i notes que la base et falla just abans de fer el salt a Batxillerat. Un reforç d'1 o 2 hores a la setmana sol bastar per reenganxar-se.
A Eurekademy pots començar amb una classe particular de matemàtiques i la teva primera classe amb 50% de descompte. Sense compromís: si no encaixa, no passa res; i si encaixa, molts alumnes recuperen l'assignatura en una sola avaluació.
Preguntes freqüents
Quina diferència hi ha entre una equació de primer i de segon grau?
En una equació de primer grau la incògnita apareix elevada només a la 1 i té una única solució. En una de segon grau apareix al quadrat (x²), pot tenir dues solucions, una o cap, i es resol amb la fórmula general. Dominar les de primer grau és el requisit previ per entendre les de segon.
Pot una equació de primer grau no tenir solució?
Sí. Si en agrupar desapareix la x i queda una cosa falsa com 0 = 5, l'equació no té solució. Si queda una cosa sempre certa com 0 = 0, té infinites solucions. Són casos rars a l'ESO, però convé reconèixer-los per no bloquejar-te.
Quant cal practicar perquè surtin soles?
Amb uns 20 o 30 exercicis variats —amb parèntesis, amb fraccions i amb la incògnita als dos costats— el mètode s'automatitza. És millor fer 5 exercicis al dia durant una setmana que 30 de cop la nit abans de l'examen: la constància fixa el procediment molt millor.