Què és una regla de tres i quan es fa servir
Una regla de tres és una manera de calcular un valor desconegut quan en coneixes tres més i les magnituds estan relacionades de manera proporcional. La fas servir sempre que puguis plantejar la frase "si això és així, llavors allò és…".
La clau és identificar les magnituds (quilos, euros, hores, persones) i decidir com es relacionen. Només hi ha dues possibilitats: que augmentin juntes (proporció directa) o que quan una puja l'altra baixa (proporció inversa). Triar malament entre aquestes dues és l'error que més suspèn.
Abans de plantejar res, escriu sempre les unitats. Si una columna són "euros" i l'altra "quilos", ordena-les perquè a dalt hi vagi sempre el mateix que a dalt. Aquest petit ordre evita la meitat dels errors.
Regla de tres simple directa, pas a pas
És directa quan en augmentar una magnitud, l'altra augmenta en la mateixa proporció: més quilos, més preu; més hores, més distància. Anem amb un exemple típic d'examen.
Problema: si 3 llibretes costen 4,50 €, quant costen 5 llibretes?
- Col·loca les dades ordenades per magnitud, llibretes amb llibretes i euros amb euros: a la primera fila, 3 llibretes → 4,50 €; a la segona, 5 llibretes → x €.
- Comprova que és directa: més llibretes costen més euros. Sí que ho és.
- Multiplica en creu i divideix entre el que queda: x = (5 × 4,50) ÷ 3.
- Resol: x = 22,50 ÷ 3 = 7,50 €.
El truc de "multiplicar en creu" a la directa vol dir multiplicar les dades que estan en diagonal (el 5 amb el 4,50) i dividir entre el que sobra (el 3). Comprova que té sentit: 5 llibretes costen més que 3, i 7,50 € és més gran que 4,50 €. Si et surt menys, alguna cosa has col·locat al revés.
Regla de tres simple inversa: el tipus que quasi tothom confon
És inversa quan en augmentar una magnitud, l'altra disminueix: més obrers, menys dies; més velocitat, menys temps. Aquí no es multiplica en creu, sinó en línia.
Problema: 4 obrers pinten una tanca en 6 dies. Quants dies triguen 3 obrers al mateix ritme?
- Ordena les dades: a la primera fila, 4 obrers → 6 dies; a la segona, 3 obrers → x dies.
- Comprova que és inversa: si hi ha menys obrers, trigaran més dies. La relació va al revés.
- Multiplica en línia la fila completa que coneixes (4 × 6) i divideix entre la dada solta (3): x = (4 × 6) ÷ 3.
- Resol: x = 24 ÷ 3 = 8 dies.
Fixa't en la diferència: a la directa multiplicaves en diagonal; a la inversa multipliques la fila que tens completa. I el resultat té sentit: amb menys gent, més dies. Si t'hagués sortit menys de 6 dies, sabries a l'instant que has aplicat la directa per error.
Regla de tres composta i percentatges
Quan hi intervenen tres o més magnituds alhora (obrers, hores i dies, per exemple), parlem de regla de tres composta. Es resol per parts: analitzes la relació de cada magnitud amb la incògnita per separat (directa o inversa) i després combines. Un percentatge també és una regla de tres directa disfressada: "el 15 % de 80" és "si 100 és 80, quant és 15?".
| Tipus | Com es relacionen | Com es calcula | Exemple quotidià |
|---|---|---|---|
| Simple directa | Una puja, l'altra puja | Multiplicar en creu (diagonal) | Preu segons quantitat |
| Simple inversa | Una puja, l'altra baixa | Multiplicar en línia | Obrers i dies de feina |
| Composta | Tres o més magnituds | Analitzar cada relació per separat | Obrers, hores i producció |
| Percentatge | Directa sobre base 100 | Creu amb el 100 com a referència | Descomptes i rebaixes |
Per al percentatge de l'exemple: x = (15 × 80) ÷ 100 = 12. Veure-ho com una regla de tres t'estalvia memoritzar fórmules diferents per a cada situació.
Els errors que més punts treuen
Com a professors, aquests són els errors que veiem una vegada i una altra en els exercicis dels nostres alumnes, i tots es poden evitar amb una mica de mètode:
- Aplicar la directa quan és inversa. Abans de multiplicar, pregunta't fluixet: "si això puja, l'altre puja o baixa?". Deu segons que salven l'exercici.
- Creuar les magnituds. Posar euros on van quilos. Escriu sempre les unitats a cada número perquè no passi.
- Oblidar les unitats al resultat. Un "7,50" sense l'euro et pot costar part de la nota encara que el número estigui bé.
- Arrodonir massa aviat. Arrossega els decimals fins al final i arrodoneix només el resultat, no els passos intermedis.
- No comprovar la lògica. Si el resultat no té sentit (més gent i més dies), és que alguna cosa s'ha col·locat al revés.
Quan val la pena un professor particular de matemàtiques
Si distingeixes bé la directa de la inversa, la regla de tres deixa de ser un problema per sempre, perquè és la base de percentatges, proporcionalitat, escales i fins i tot física. Però si notes que continues fallant el tipus o que arrossegues llacunes de cursos anteriors, una empenta guiada marca la diferència.
Un professor particular té sentit quan portes diverses setmanes cometent el mateix error, quan s'acosta un examen i no aconsegueixes veure on t'equivoques, o quan el ritme de classe va massa ràpid per consolidar la base. En una classe de classes particulars de matemàtiques es detecta aquest error concret en minuts i es corregeix amb exercicis a la teva mida.
A Eurekademy pots començar amb una primera classe amb 50% de descompte, sense compromís. Si encaixa, molts alumnes recuperen la confiança amb les mates en poques setmanes.
Preguntes freqüents
Com sé si una regla de tres és directa o inversa?
Planteja't què passa amb la segona magnitud quan la primera augmenta. Si també augmenta, és directa (més quilos, més preu). Si disminueix, és inversa (més obrers, menys dies). Aquesta pregunta, feta abans de calcular, és el que decideix com multiplicar.
Es pot resoldre una regla de tres sense multiplicar en creu?
Sí. Pots calcular primer el valor d'una unitat (el que s'anomena reducció a la unitat) i després multiplicar. Per exemple, si 3 llibretes costen 4,50 €, una en costa 1,50 €, així que 5 en costen 7,50 €. Dona el mateix resultat i a molta gent li resulta més intuïtiu.
Els percentatges són sempre una regla de tres?
Sí, un percentatge és una regla de tres directa on la base és 100. Calcular el 15 % de 80 és plantejar "si a 100 li correspon 80, a 15 li correspon x". Veure-ho així et permet resoldre descomptes, IVA o pujades de preu amb la mateixa eina de sempre.