Examen de Matemáticas II de selectividad — País Vasco 2022

Ejercicio A1

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} x + y + \alpha z = \alpha, \\ 2x + \alpha y + \alpha z = 1, \\ x + \alpha y + z = 1. \end{cases}$$

Resuelve el sistema para $\alpha = -1$ y $\alpha = 1$, si es posible.

---

Ejercicio B1

Sea la matriz

$$A = \begin{pmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m-2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.$$

(a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.

(b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m = 0$.

---

Ejercicio A2

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son:

$$r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2t, \\ z = 0; \end{cases}$$

y el plano $\pi \equiv x + y + z - 2 = 0$. Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

---

Ejercicio B2

Sean el punto $P = (1, 2, a)$, donde $a \neq 0$, y el plano $\pi \equiv x + y + 2z = 3$. Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

---

Ejercicio A3

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Dada la función $f(x) = (x-1)^2 e^{-2x}$, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

---

Ejercicio B3

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f$ se anule en el punto de abscisa $x = 1$ y las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = 3$ sean paralelas a la recta $y = 2x + 1$.

---

Ejercicio A4

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Calcula

$$\int \frac{7x + 13}{(x+1)(x^2 - x - 2)}\,dx.$$

---

Ejercicio B4

Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = e^{-x}$ y la recta horizontal $y = e$, y calcula el área de ese recinto.

---

Ejercicio A5

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:

• T: 4 bolas negras y 6 blancas,
• R: 7 bolas negras y 3 blancas.

Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a) sean negras,

(b) sean blancas,

(c) sean de distinto color.

---

Ejercicio B5

El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,5.

(a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.

(b) Si el 30 % de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?