Examen de Matemáticas II de selectividad — País Vasco 2021

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio 1 (A1 · 2,5 puntos)

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} \alpha x - y + z = 1, \\ 3x - y + \alpha z = \alpha, \\ x + (\alpha - 1)z = 1. \end{cases}$$

Resolver el sistema para $\alpha = 3$, si es posible.

Ejercicio 2 (B1 · 2,5 puntos)

Sea la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & -1 \end{pmatrix}.$$

a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa.

b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha = 2$.

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio 3 (A2 · 2,5 puntos)

Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, a, -1)$ y $B = (b, 1, 1)$ y $\pi$ el plano de ecuación $x + y - 2z = 2b$.

a) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.

b) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.

Ejercicio 4 (B2 · 2,5 puntos)

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P = (-2, 1, 0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $\{x = 1 - 2t, y = 1 + t, z = t\}$.

Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio 5 (A3 · 2,5 puntos)

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = 5 + 8x^2 - x^4$. Representar la gráfica de $f$.

## Ejercicio 6 (B3 · 2,5 puntos)

Sea la función $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + A$.

a) Obtener los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(0, 1)$ y tenga un mínimo en el punto $(1, 1)$.

b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio 7 (A4 · 2,5 puntos)

Sean las funciones: $f(x) = 1/x$, $g(x) = x^2$, $h(x) = x^2/8$.

a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.

b) Calcular el área de dicho recinto.

## Ejercicio 8 (B4 · 2,5 puntos)

Calcular, explicando los métodos utilizados,

$$I = \int (x + 2) \sin(2x)\, dx \quad \text{y} \quad J = \int \dfrac{x + 7}{x^2 - 4x - 5}\, dx.$$

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio 9 (A5 · 2,5 puntos)

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.

b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

Ejercicio 10 (B5 · 2,5 puntos)

En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.

b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.