Examen de Matemáticas II de selectividad — Navarra 2021

MATEMÁTICAS II

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan

Ejercicio 1 (P1) (2.5 puntos)

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

$$\begin{cases} (a-1)x - y = 3 \\ (a-1)x + (a+1)y - (2-a)z = -2a \\ (-2a+2)x - ay + (a^2 - a - 2)z = 3a - 1 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Ejercicio 2 (P2) (2.5 puntos)

Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^3| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1-t & -2 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 3 (P3) (2.5 puntos)

Encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a las rectas

$$r \equiv \begin{cases} x + 2y + z + 3 = 0 \\ x + 6y - z - 7 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \dfrac{x-3}{3} = \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{z+2}{1}$$

y equidista de ambas.

Ejercicio 4 (P4) (2.5 puntos)

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-1}{2}$. Otro lado lo determinan los puntos $A(-1, -2, 3)$ y $B(2, -2, -1)$. Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide $16$ u.

Ejercicio 5 (P5) (1.25 + 1.25 puntos)

Sea la función $f(x) = (x^2 - 3x + 10)^{\log[2x^{-1}\sin\frac{x(x-2)}{6}]}$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$.

(1.25 puntos)

b) Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 2$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

(1.25 puntos)

Ejercicio 6 (P6) (2.5 puntos)

Calcula las asíntotas de esta función y estudia la posición de la curva respecto a ellas:

$$f(x) = \dfrac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4}$$

Ejercicio 7 (P7) (1 + 1.5 puntos)

Sea la función $f(x) = \ln\left(\dfrac{5x - 2 - x\sin\frac{\pi x}{2}}{x^2 - 4x + 6}\right)$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$.

(1 punto)

b) Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 3/2 \ln 2$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

(1.5 puntos)

Ejercicio 8 (P8) (2.5 puntos)

Calcula los valores de las abcisas $a$ y $b$ que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:

[Figura: Gráfico en el plano OXY mostrando dos funciones: $f(x) = \dfrac{e}{x}$ y $g(x) = \ln x$. Hay dos regiones sombreadas: una entre las curvas desde $x = a$ hasta $x = 1$, y otra desde $x = 1$ hasta $x = b$. Las líneas horizontales $y = 1$ y $y = 2$ están marcadas con líneas punteadas.]