Examen de Matemáticas II de selectividad — Murcia 2023

Ejercicio 1

Una papelería vende bolígrafos, rotuladores y libretas. Una libreta cuesta el doble que un bolígrafo y un rotulador juntos, un bolígrafo cuesta la sexta parte que una libreta, y un rotulador cuesta el doble que un bolígrafo.

a) [0,75 p.] Denotando por $x$ el precio de cada bolígrafo, por $y$ el de cada rotulador y por $z$ el de cada libreta, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.

b) [0,25 p.] Justifique que, con estos datos, no se puede conocer el precio de cada uno de los tres productos.

c) [1 p.] Calcule el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.

d) [0,5 p.] Sabiendo que una libreta cuesta 18 euros, calcule el precio de cada producto.

---

Ejercicio 2

Considere las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} a & a \\ -1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

a) [0,5 p.] Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es regular (o invertible).

Se sabe que cuando $a = -2$ la matriz $A$ es regular (o invertible). Para ese valor de $a$:

b) [1 p.] Calcule la inversa de $A$ y compruebe que $A \cdot A^{-1} = I$, con $I$ la matriz identidad de orden 2.

c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AXA^{-1} + B = C^\top$, donde $C^\top$ denota la matriz traspuesta de $C$.

---

Ejercicio 3

Calcule los siguientes límites:

a) [1,25 p.] $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x \operatorname{sen}(x)}$.

b) [1,25 p.] $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}}{3x}$.

---

Ejercicio 4

Considere la función $f(x) = \dfrac{x^2}{1+x^2}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$.

a) [0,5 p.] Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

b) [0,5 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$.

c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

d) [0,5 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(1, 1)$.

---

Ejercicio 5

Considere las siguientes rectas:

$$r : \begin{cases} x - 2y = 5 \\ y + z = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s : \frac{x-8}{2} = \frac{y+3}{1} = \frac{z-3}{-1}.$$

a) [1 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.

b) [1 p.] Compruebe que el punto $P = (7, 1, -1)$ está en la recta $r$ y calcule su proyección ortogonal sobre la recta $s$.

c) [0,5 p.] Calcule la distancia entre ambas rectas.

---

Ejercicio 6

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi : 3x - y - 2z = 5$ y la recta $r$ dada por

$$r : \frac{x - a}{1} = \frac{y - 3 + a}{1} = \frac{z}{1}.$$

a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.

Se sabe que cuando $a = 0$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:

b) [0,75 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.

c) [0,5 p.] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$.

---

Ejercicio 7

Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna B contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna A y se mete en la urna B. A continuación, se saca al azar una bola de la urna B. Calcule:

a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.

b) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.

c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna A fuera verde, sabiendo que la bola sacada de la urna B ha sido negra.

---

Ejercicio 8

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.

Se lanza una moneda al aire 100 veces y se anota el resultado del lanzamiento, que puede ser cara o cruz con la misma probabilidad. Determine:

a) [0,5 p.] Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale cara.

b) [0,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.

c) [0,5 p.] Cuál es la probabilidad de que salga cara 60 veces.

d) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que el número de veces que sale cara sea mayor o igual que 55.