Examen de Matemáticas II de selectividad — La Rioja 2025

Ejercicio 1 — APARTADO 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (2,5 puntos)

La producción de vino por hectárea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$. Los datos históricos indican que solo en el $2\%$ de los años la producción supera los $9000\, kg/ha$, mientras que en el $56\%$ de los años queda por debajo de los $8315\, kg/ha$.

a) (1,75 puntos) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.

b) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que la producción supere los $8500\, kg/ha$ en un año elegido al azar.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

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Ejercicio 2 — APARTADO 2. ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

Opción A

2.1 (2,5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide $8\, m$, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

Opción B

2.2 (2,5 puntos) Sea la función $f(x) = -x^2 + \alpha x + 11$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Calcula el valor de $\alpha$ para que $f(x)$ tenga un máximo relativo en $x = 1/2$. Para ese valor de $\alpha$ calcula el área encerrada entre las gráficas $f(x)$ y $f'(x)$.

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Ejercicio 3 — APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

Opción A

3.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

a) (1,25 puntos) Dado el sistema de ecuaciones homogéneo

$$\begin{cases} 3x + y - z = 0 \\ 3x + 2y - mz = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$$

indica para qué valores de $m$ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelve el sistema anterior para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.

b) (1,25 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelve el sistema

$$\left(A - \frac{1}{3}A^T\right) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$$

donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

Opción B

3.2 Responda a los dos subapartados siguientes.

a) (1,25 puntos) Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},$$

estudia el rango de la matriz $A - \lambda I$, según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b) (1,25 puntos) Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix},$$

calcula su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema $AX = b$ siendo $b = (0, 0, 0, 0)^T$? Nota, $b^T$ denota matriz traspuesta de $b$.

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Ejercicio 4 — APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

Opción A

4.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

a) (1,25 puntos) Obtén el valor del $m$ para el cual las rectas $r \equiv x = y = z - m$ y

$$s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{2y}{3} = 2z - 2$$

se cortan. Calcula el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $m$ calculado.

b) (1,25 puntos) Se consideran los puntos $P = (0, 2, -1)$ y $Q = (2, -2, 1)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

Opción B

4.2 Responda a los dos subapartados siguientes.

a) (1,25 puntos) Dada la recta $r$, $r \equiv x - 2 = y + 1 = -z$, calcula la ecuación de la recta $s$ que corta a $r$ perpendicularmente y que pasa por $Q = (2, -2, 1)$.

b) (1,25 puntos) Dados los planos $mx + 2y - 3z - 1 = 0$ y $2x - 4y + 6z + 5 = 0$ halla los valores de $m$ para que sean:

i) paralelos.

ii) perpendiculares.

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Tabla simplificada de la distribución normal tipificada

$z$	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817