Examen de Matemáticas II de selectividad — Galicia 2024

Pregunta 1. Números y Álgebra. (2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos matrices tales que $A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Calcule $A^2$.

b) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A^2 X - (A+B)^T = 3I - 2X$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A+B)^T$ la traspuesta de $(A+B)$.

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Pregunta 2. Números y Álgebra. (2 puntos)

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema:

$$\begin{cases} mx + (m+2)y + z = 3, \\ 2mx + 3my + 2z = 5, \\ (m-4)y + mz = m. \end{cases}$$

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Pregunta 3. Análisis. (2 puntos)

a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

b) Calcule $\displaystyle\int x^3 e^{x^2}\,dx$.

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Pregunta 4. Análisis. (2 puntos)

Calcule los siguientes límites:

a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x \sin x}$.

b) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^2}$.

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Pregunta 5. Geometría. (2 puntos)

a) Considérese el plano $\pi: 4x + 2y + bz = 2$ y la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y-c}{2} = \dfrac{z-3}{4}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.

b) Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano $\pi': 4x + 2y - 4z = 2$.

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Pregunta 6. Geometría. (2 puntos)

a) Considérense los puntos $Q(-1,3,-5)$, $R(3,1,0)$ y $S(0,1,2)$. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a $Q$, $R$ y $S$.

b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(3,-1,-1)$ y sea perpendicular al plano $\pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0$.

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Pregunta 7. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

Sabiendo que $P(A) = \dfrac{1}{3}$ y $P(B) = \dfrac{1}{2}$.

a) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \mid (\bar{A} \cup \bar{B}))$.

b) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \mid (\bar{A} \cup \bar{B}))$.

(Nota: $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son los sucesos contrarios o complementarios de $A$ y $B$, respectivamente).

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Pregunta 8. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500 mililitros y desviación típica igual a 4 mililitros.

a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?

b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5% de estas botellas?