Examen de Matemáticas II de selectividad — Galicia 2023

Pregunta 1

Números e Álxebra:

Despexe a matriz $X$ da ecuación $XA = A + XB$, se $A$ e $B$ son matrices cadradas tales que $A - B$ é invertible.

Logo, calcule $X$ se $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $B = (A^2 - A - I)^{-1}$, onde $I$ é a matriz identidade de orde 2.

---

Pregunta 2

Números e Álxebra:

Discuta, segundo os valores de $m$, o sistema

$$\begin{cases} mx + (2 + m^2)y & = 1 + m, \\ my - z & = 1, \\ mx + 2y + (2m - 4)z & = 5. \end{cases}$$

---

Pregunta 3

Análise:

a) Se $f(x) = ae^x + b$, diga que valores deben ter $a$ e $b$ para que se cumpran $f(0) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$.

b) Estude se a función $f(x) = x + \sin x$ ten extremos ou puntos de inflexión no intervalo $(0, 2\pi)$, diga onde están en caso de que existan e esboce a gráfica de $f$ nese intervalo.

---

Pregunta 4

Análise:

Calcule a área da rexión determinada polas desigualdades $x \geq 1$, $y \leq x$ e $y \geq f(x)$, con $f(x) = x \ln x$. Faga un esbozo gráfico da rexión. Nota: $\ln x$ é o logaritmo neperiano de $x$.

---

Pregunta 5

Xeometría:

a) Obteña as ecuacións paramétricas da recta $r$ que pasa polos puntos $P(2, -1, 0)$ e $Q(3, 0, 0)$ e a ecuación implícita ou xeral do plano $\pi$ que pasa polo punto $R(0, 4, -2)$ e é paralelo aos vectores $\vec{u}(1, 0, -1)$ e $\vec{v}(2, 1, -2)$.

b) Calcule o ángulo agudo que forma a recta $r: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{0}$ co plano $\pi: x + z + 2 = 0$.

---

Pregunta 6

Xeometría:

a) Calcule o punto simétrico de $P(2, -1, 0)$ con respecto ao plano $\pi: x + z + 2 = 0$.

b) Estude a posición relativa das rectas $r: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{0}$ e $s: \dfrac{x-2}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z+1}{-1}$. Se se cortan, calcule o punto de corte.

---

Pregunta 7

Estatística e Probabilidade:

a) Calcule as catro probabilidades $P(A)$, $P(A \cap \bar{B})$, $P(A \mid B)$ e $P(B \mid A)$ sabendo que $P(A \cup B) = 0{,}8$, $P(A \cap B) = 0{,}2$ e $P(A) = 2P(B)$. Nota: $\bar{B}$ é o suceso contrario ou complementario de $B$.

b) Nun coñecido congreso, o 60% dos científicos inscritos participan online e o resto asisten en persoa. Ademais, o 65% dos inscritos son europeos e o 80% dos que asisten en persoa tamén o son. Se se elixe ao azar a un dos inscritos, calcule a probabilidade de que sexa europeo e, á vez, participe online; logo, a de que participe online se se sabe que é europeo.

---

Pregunta 8

Estatística e Probabilidade:

a) Nunha certa zona húmida, a probabilidade de que un cabezolo chegue a ra adulta é do 2%. Se se escollen ao azar 2500 deses cabezolos, cal é a probabilidade de que polo menos 55 deles cheguen a ras adultas?

b) Para conceder bolsas de estudo, un organismo valora os méritos presentados e asigna a cada candidato unha puntuación que indica máis méritos canto maior é o seu valor. Este ano, a puntuación segue unha distribución normal de media 100 e desviación típica 20, e tómase a decisión de conceder a bolsa ao 5% mellor do conxunto de solicitantes. Que puntuación é preciso alcanzar para obter a bolsa?