Examen de Matemáticas II de selectividad — Galicia 2020

MATEMÁTICAS II

O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como queira. Se responde máis preguntas das permitidas, só se corrixirán as 5 primeiras respondidas.

Ejercicio 1 (2 puntos)

Números e Álxebra:

Sexan $A$ e $B$ as dúas matrices que cumpren $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $A - B = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$. Pídese:

a) Calcular $A^2 - B^2$. (Advertencia: neste caso, $A^2 - B^2 \neq (A + B)(A - B)$.)

b) Calcular a matriz $X$ que cumpre a igualdade $XA + (A + B)^T = 2I + XB$, sendo $I$ a matriz identidade de orde 2 e $(A + B)^T$ a trasposta de $A + B$.

Ejercicio 2 (2 puntos)

Números e Álxebra:

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o seguinte sistema:
$$\begin{cases} mx + y = 2m, \\ x + z = 0, \\ x + my = 0. \end{cases}$$

Ejercicio 3 (2 puntos)

Análise:

a) Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos^2 x - 1}{1 + 2x - e^{2x}}$.

b) Determine os intervalos de crecemento e de decrecemento de $f(x) = x(\ln x - 1)$. Calcule, se existen, os máximos e mínimos relativos da función $f$.

Ejercicio 4 (2 puntos)

Análise:

a) Calcule os valores de $b$ e $c$ para que a función $f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{se } x \leq 0, \\ x^2 + bx + c & \text{se } x > 0 \end{cases}$ sexa, primeiro continua, e logo derivable en $x = 0$.

b) Calcule $\int_1^2 x(\ln x - 1) dx$.

Ejercicio 5 (2 puntos)

Xeometría:

a) Obteña a ecuación implícita ou xeral do plano que pasa polos puntos $A(3, 0, -1)$, $B(4, 1, 1)$ e $C(7, 1, 5)$.

b) Obteña as ecuacións paramétricas da recta $r$ que é perpendicular ao plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$ e que pasa polo punto $P(-1, -2, 2)$.

Ejercicio 6 (2 puntos)

Xeometría:

Estude a posición relativa das rectas $r$ e $s$ definidas polas ecuacións $r: \dfrac{x-3}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+1}{-2}$ e $s: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+3}{4} = \dfrac{z+2}{3}$. Se se cortan, calcule o punto de corte.

Ejercicio 7 (2 puntos)

Estatística e Probabilidade:

Selecciónanse 250 pacientes para estudar a eficacia dun novo medicamento. A 150 deles adminístraselles o medicamento, mentres que o resto son tratados cun placebo. Sabendo que se curaron o 80% dos que tomaron o medicamento, cal é a probabilidade de que, seleccionado un paciente ao azar, tomase o placebo ou non curase?

Ejercicio 8 (2 puntos)

Estatística e Probabilidade:

Nunha cadea de montaxe, o tempo empregado para realizar un determinado traballo segue unha distribución normal de media 20 minutos e desviación típica 4 minutos. Calcule a probabilidade de que se faga ese traballo nun tempo comprendido entre 16 e 26 minutos.