Examen de Matemáticas II de selectividad — Extremadura 2026

Prueba de Acceso a la Universidad (PAU)

Universidad de Extremadura

Curso 2025-2026

Materia: MATEMÁTICAS II
Tiempo máximo de la prueba: 1h 30 min

INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN.

El estudiante deberá resolver cuatro ejercicios de los propuestos en este examen. Los ejercicios 1, 2 y 3 tienen dos opciones A y B, solo hay que contestar una de las dos opciones (A o B). Si se contesta a las dos se corregirá solo la que aparezca en primer lugar, salvo que esté tachada. El ejercicio 4 es único y obligatorio. CADA EJERCICIO COMPLETO PUNTUARÁ 2,5 PUNTOS MÁXIMO. En cada apartado se indica la correspondiente puntuación.

Se adjunta al final tabla de la distribución NORMAL por si hiciera falta para algún ejercicio.

Todas las instrucciones son las recogidas en los criterios generales de evaluación ya publicados junto con los modelos de exámenes. Indicamos a modo de recordatorio y resumen:

Criterios generales. Las respuestas de los ejercicios deberán realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en su resolución con el rigor y la precisión necesarios, usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados. Se valorará con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Ortografía y redacción. Se valorará la corrección ortográfica (grafías, tildes y puntuación), así como la coherencia, la cohesión, la corrección gramatical y léxica, y la presentación. Se deducirán 0,10 puntos por cada falta a partir de la tercera. Se podrá deducir hasta 1 punto máximo en la puntuación final.

Materiales. Se permitirá una calculadora no gráfica y no programable, según el anexo aprobado y publicado.

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Ejercicio 1 (EJERCICIO 1.A [2,5 puntos] a) 1,5 puntos. b) 1 punto.)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y + kz = k \\ kx + (k-1)y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

a) Discutir el sistema en función del parámetro k.

b) Resolverlo para el caso k=2.

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Ejercicio 2 (EJERCICIO 1.B [2,5 puntos] a) 1,25 puntos. b) 1,25 puntos.)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

a) Resolver la ecuación matricial A.X= B$^t$-2X donde B$^t$ es la traspuesta de la matriz B.

b) Resolver el sistema matricial de ecuaciones: 2X+3Y=A, X-2Y=B

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Ejercicio 3 (EJERCICIO 2.A [2,5 puntos] a) 1 punto. b) 1 punto. c) 0,5 puntos.)

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}$

a) Estudiar y obtener las asíntotas de la función f.

b) Determinar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x).

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Ejercicio 4 (EJERCICIO 2.B [2,5 puntos] a) 1,25 puntos, b)1,25 puntos.)

Dadas las funciones f(x) =8-8x y g(x)= x$^3$-4x

a) Calcular $\displaystyle\int \dfrac{f(x)}{g(x)} dx$

b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de g(x) y el eje X.

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## Ejercicio 5 (EJERCICIO 3.A [2,5 puntos] a) 1 punto. b) 0,75 puntos. c) 0,75 puntos.)

a) Sean los puntos A(1,3,-2) y B(3,-1,2), calcular la ecuación del plano perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ y que pasa por el punto que divide el segmento AB en dos partes iguales.

b) Calcular la distancia del punto A al plano π: 2x-y+2z-4=0.

c) Obtener la ecuación del plano paralelo al plano π y que pase por el punto B.

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Ejercicio 6 (EJERCICIO 3.B [2,5 puntos] a) 0,75 puntos. b) 0,75 puntos. c) 1 punto.)

a) Dados los vectores $\vec{u} = (0,3,-4)$ $\vec{v} = (12,4,3)$, comprobar que el paralelogramo que forman es un rectángulo y calcular su área.

b) Hallar la ecuación del plano formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y el punto (1,0,0).

c) Obtener un vector perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de módulo 13.

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Ejercicio 7 (EJERCICIO 4. [2,5 puntos] a) 0,75 puntos. b) 0,75 puntos. c) 1 punto.)

En un estudio realizado por una empresa hotelera se ha obtenido que la distribución del tiempo de estancia del viajero en el hotel es una ley normal de media 3,7 días y desviación típica 1,5 días. Calcular:

a) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 2 y 5 días?

b) Si se contabilizan 1000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 7 días?

c) La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10% de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento?

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[Figura: ANEXO TABLA A DISTRIBUCIÓN NORMAL

Tabla de distribución normal N(0,1)
P(z ≤ z₀) = z₀

Tabla con valores de z desde 0,0 hasta 3,9 en incrementos de 0,1 en filas, y columnas para los decimales 0,00 a 0,09. La tabla contiene las probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar. Incluye una representación gráfica de la curva normal con el área sombreada hasta z₀.]