Examen de Matemáticas II de selectividad — C. Valenciana 2022

Ejercicio 1

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Se pide:

a) Demostrar que $C - AB^T$ tiene inversa y calcularla. (4 puntos)

b) Calcular la matriz $X$ que verifica $CX = AB^TX + I$, donde $I$ es la matriz identidad. (3 puntos)

c) Justificar que $(AB^T)^n = 2^n I$ para todo número natural $n$. (3 puntos)

Ejercicio 2

Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} m & 0 & m-1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{pmatrix}.$$

Determinar:

a) El rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$. (4 puntos)

b) La matriz inversa de $A$ en el caso $m = 2$. (4 puntos)

c) El número real $m$ para el cual el determinante de la matriz $2A$ es igual a $-8$. (2 puntos)

Ejercicio 3

Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3z \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 4 - 5z \\ y = 4z - 3 \end{cases}$.

a) Indicar justificadamente la posición relativa de $r$ y $s$. (5 puntos)

b) Hallar la ecuación de la recta $l$ que pasa por el origen y corta a $r$ y $s$. (5 puntos)

Ejercicio 4

Dados los planos $\pi_1: 2x - y - z + 4 = 0$ y $\pi_2: \begin{cases} x = -1 + \alpha \\ y = 1 + \alpha + \beta \\ z = \alpha - \beta \end{cases}$, y la recta $r: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$.

a) Calcular la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. (3 puntos)

b) Calcular el punto $P'$ que es simétrico al punto $P = (1, 0, 0)$ respecto del plano $\pi_1$. (4 puntos)

c) Calcular, si existe, el punto de intersección de $\pi_1$ y $r$. (3 puntos)

Ejercicio 5

Consideramos la función $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4}$. Obtener:

a) El dominio y los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

b) Las asíntotas de la función. (2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos. (3 puntos)

d) La primitiva de la función $f(x)$. (4 puntos)

Ejercicio 6

Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m de longitud.

a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor $x$ que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo. (3 puntos)

b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima. (7 puntos)