Examen de Matemáticas II de selectividad — Cantabria 2023

Ejercicio 1 [2,5 PUNTOS]

Considere el sistema de ecuaciones

$$\begin{cases} 2x + 3y + z = -1 \\ x - y + z = a \\ -x + y - 2z = -3 \end{cases}$$

dado en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

1) [1,25 PUNTOS] Determine para qué valores de $a$ el sistema es compatible.

2) [1,25 PUNTOS] Dado $a = 4$, resuelva el sistema anterior si es posible.

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Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]

Considere la función $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 2}{x}$.

1) [0,5 PUNTOS] Determine el conjunto de puntos de discontinuidad de $f(x)$.

2) [1 PUNTO] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

3) [1 PUNTO] Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).

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Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]

Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triangulo que tiene como vertices a los puntos $A = (0, 0, 1)$, $B = (4, 1, 2)$ y $C = (3, 4, 3)$.

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Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]

En cierta región, el 72% de las mujeres vive al menos 71 años y el 52% vive al menos 80 años. Si una mujer determinada de esa región tiene 71 años, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a vivir al menos hasta los 80 años?

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Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

Considere la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

1) [0,5 PUNTOS] Calcule el determinante de $A$ en función del parámetro $a$.

2) [0,75 PUNTOS] Calcule el rango de $A$ en función del parámetro $a$.

3) [0,5 PUNTOS] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa.

4) [0,75 PUNTOS] Sea $B$ el conjunto de los $a \in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $a \in B$.

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Ejercicio 6 [2,5 PUNTOS]

Considere la función $f(x) = x^3 + 1$.

1) [0,5 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f(x)$.

2) [1 PUNTO] Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$ si los hubiera.

3) [1 PUNTO] Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$.

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Ejercicio 7 [2,5 PUNTOS]

Considere los planos

$$\pi_1 : 2x - 3y + 5z = a$$

$$\pi_2 : bx + 3y - 5z = 4$$

en función de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$. Determine si es posible asignar algún valor a los parámetros $a$ y $b$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$:

1) [0,5 PUNTOS] Sean coincidentes. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.

2) [1 PUNTO] Sean paralelos. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.

3) [1 PUNTO] Se corten en una recta. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.

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Ejercicio 8 [2,5 PUNTOS]

Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio con $P(A) = 0{,}5$ y $P(B) = 0{,}25$.

1) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A \cup B)$.

2) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A^c)$ y $P(B^c)$, donde $A^c$ y $B^c$ denotan el suceso contrario de $A$ y de $B$ respectivamente.

3) [1 PUNTO] Razone si $A^c$ y $B^c$ son independientes.

4) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A^c \cup B^c)$.