Examen de Matemáticas II de selectividad — Canarias 2024

Ejercicio 1

Bloque 1.- Análisis (seleccione solo una pregunta)

Opción A

La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:

$$C(x) = \frac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}, \quad x \geq 0$$

donde $C(x)$ son miles de €, $x$ miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas.

a) Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos.

b) Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?

c) Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación del economista.

d) Calcular: $\displaystyle\int_0^4 C(x)\,dx$. Interpretar el resultado en el contexto del problema.

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Opción B

Dada la función definida por: $f(x) = \dfrac{\ln(x+2)+a}{3x+4}$

a) Determinar el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ es 10. Dar la expresión de la función.

b) Para el valor $a = 0$, estudiar el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$.

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Ejercicio 2

Bloque 2.- Álgebra (seleccione solo una pregunta)

Opción A

Resolver el siguiente sistema matricial:

$$\left.\begin{array}{l} 5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\ 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{array}\right\}$$

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Opción B

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$\left.\begin{array}{l} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{array}\right\}$$

a) Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro $k$.

b) Resolver el sistema cuando $k = 4$.

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Ejercicio 3

Bloque 3.- Geometría (seleccione solo una pregunta)

Opción A

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

$$P(-7,3,4), \quad r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, \quad \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0$$

a) Encontrar el punto $A$ intersección del plano $\pi$ con una recta $s$. Esta recta $s$ es una recta paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $P$.

b) Hallar el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$.

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Opción B

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:

$$r: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases}; \quad s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$

a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

b) Encontrar el plano $\pi$, paralelo a la recta $r$ y que contiene a la recta $s$.

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Ejercicio 4

Bloque 4.- Probabilidad (seleccione solo una pregunta)

Opción A

En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,96, 0,98 y 0,99.

a) Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.

b) Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.

c) Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.

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Opción B

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.

a) Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.

b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que 3/4. Justificar si esta afirmación es cierta o no.

	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767