Examen de Matemáticas II de selectividad — Andalucía 2023

BLOQUE A

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1}{e^x + e^{-x}}$.

a) [1,5 puntos] Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 f(x)\right)$.

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Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea la función $f : [-2, 2] \longrightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^3 - 2x + 5$.

a) [1,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(-2, f(-2))$ y $(2, f(2))$.

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión.

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Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x|x - 1|$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$.

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Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = \displaystyle\int_0^x \operatorname{sen}\!\left(t^2\right) dt$. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}$.

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BLOQUE B

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El $60\%$ de los coches blancos más el $50\%$ de los coches negros representan el $30\%$ de los coches vendidos. El $20\%$ de los coches blancos junto con el $60\%$ de los coches negros y el $60\%$ de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

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Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) [0,5 puntos] Determina para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$.

b) [2 puntos] Para todo $m \neq -1$, resuelve, si es posible, la ecuación $AX + X = B$.

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Ejercicio 7. (2,5 puntos)

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$, $B$ y $C$.

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Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el punto $A(-1, 1, 3)$ y la recta $r$ determinada por los puntos $B(2, 1, 1)$ y $C(0, 1, -1)$.

a) [1,5 puntos] Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$.

b) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$.