Examen de Matemàtiques II de selectivitat — País Basc 2023

Ejercicio 1

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Opción A — Ejercicio A1

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1, \\ x + \alpha y + z = 1, \\ 2x + 3y + 4z = 2. \end{cases}$$

Resuelve el sistema en los casos $\alpha = 1$ y $\alpha = 2$.

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Opción B — Ejercicio B1

Calcula el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $\alpha$, siendo

$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & \alpha & 0 \\ 3 & \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

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Ejercicio 2

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Opción A — Ejercicio A2

Sea $r$ la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:

$$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1, \\ 2x + 2y + z = 2. \end{cases}$$

a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.

b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el punto $P(2, 1, 0)$, que es exterior a $r$.

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Opción B — Ejercicio B2

Sean $r$ la recta cuya ecuación continua es:

$$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{2},$$

los planos de ecuaciones $\pi_1 \equiv x + y + z = 1$ y $\pi_2 \equiv x + y - z = 1$, $P_1$ el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi_1$ y $P_2$ el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi_2$. Calcula:

a) las coordenadas de los puntos $P_1$ y $P_2$;

b) la distancia entre los puntos $P_1$ y $P_2$;

c) la distancia del punto $P_1$ al plano $\pi_2$.

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Ejercicio 3

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Opción A — Ejercicio A3

Sea la función $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.

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Opción B — Ejercicio B3

La función $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ es creciente en el intervalo $(-\infty, 1)$ y decreciente en el intervalo $(1, +\infty)$. Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 2$ es perpendicular a la recta de ecuación $y = x + 2$ y $f(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$. Calcula los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.

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Ejercicio 4

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Opción A — Ejercicio A4

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva de ecuación $y = \dfrac{x^2}{4}$ y superiormente por las curvas de ecuaciones $y = \dfrac{4}{x^2}$ e $y = 4$. Calcula el área de ese recinto.

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Opción B — Ejercicio B4

Calcula las siguientes integrales:

$$\int \frac{x^2 + 4}{(x+2)^2}\,dx, \qquad \int (x+2)\sin(3x)\,dx.$$

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Ejercicio 5

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Opción A — Ejercicio A5

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2 % y en el nocturno es del 10 %. Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,

a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;

b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

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Opción B — Ejercicio B5

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 18 puntos. El 15 % del alumnado está en el nivel avanzado, el 65 % en el nivel medio y el 20 % restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:

a) 85,5 puntos,

b) 48 puntos.