Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Navarra 2024

Pregunta 1

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} (2-a)x - ay + 2z = -4 \\ (a-2)x + (a+1)y = 5 \\ y + (a^2 - a)z = 3 - a \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (2,5 puntos)

Pregunta 2

Halla el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo:

$$M = \begin{pmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m+1 & 2 \end{pmatrix}$$

(2,5 puntos)

Pregunta 3

Los puntos $A(4,-2,-3)$, $B(2,-1,1)$ y $C(0,-3,-1)$ son vértices de un rombo.

a) Encuentra el cuarto vértice del rombo. (1,75 puntos)

b) Calcula el área del rombo. (0,75 puntos)

Pregunta 4

Queremos construir un tetraedro de volumen $3\,u^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ con los ejes de coordenadas.

a) ¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? (1,5 puntos)

b) Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. (1 punto)

Pregunta 5

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) $f(x) = \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\cos x}$ (1,25 puntos)

b) $g(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}$ (1,25 puntos)

Pregunta 6

Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$. Representa, de manera aproximada, la gráfica de $f$.

(2,5 puntos)

Pregunta 7

Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, 4]$. (1,25 puntos)

b) Comprueba que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2, 4)$ tales que $f(\alpha) = 2 = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)

Pregunta 8

Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = \frac{9}{x} \quad \text{y} \quad g(x) = 10x - x^3$$

Tomando los dos puntos de corte con $x > 0$, calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abcisa positiva.

(2,5 puntos)