Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Navarra 2022

Pregunta 1

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} x + (a^2 - 2a)\,y - z = -a^2 \\ x + (a^2 - 4)\,y + (2a - 3)\,z = -a^2 - 2a \\ x + (a^2 - 4a + 4)\,y + (a^2 - 2a)\,z = -a^2 + a - 1 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

(2,5 puntos)

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Pregunta 2

Calcula los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26} + A^{25}$ es matriz singular, siendo

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1 \end{pmatrix}$$

(2,5 puntos)

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Pregunta 3

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $T \equiv (1, -5, 3)$ y corta a las siguientes rectas:

$$r \equiv \begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$$

(2,5 puntos)

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Pregunta 4

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, 2, -1)$, es paralela al plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$ y corta a la recta:

$$r \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 2 = 0 \\ 3x - y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

(2,5 puntos)

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Pregunta 5

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

$$\int \frac{dx}{2x\sqrt{x-1}}$$

(1,25 puntos)

$$\int (3 - 2x)\,e^{-2x}\,dx$$

(1,25 puntos)

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Pregunta 6

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}}$.

a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[0, \pi]$.

(0,75 puntos)

b) Halla su extremo relativo en ese mismo intervalo.

(1,75 puntos)

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Pregunta 7

Se considera la función $f(x) = \dfrac{e^{x^2-2}}{x}$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, -1]$.

(0,75 puntos)

b) Comprueba que existe un valor $\alpha \in (-2, -1)$ tal que $f'(\alpha) = e$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

(1,75 puntos)

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Pregunta 8

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = 2 - |x| \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^2 - 10$$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

(2,5 puntos)