Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Navarra 2020

Evaluación del Bachillerato para el Acceso a la Universidad

CURSO: 2019-2020

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan

Ejercicio 1 (P1) (2.5 puntos)

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

$$\begin{cases} (a+1)x + (a^2 + a)y = 2 \\ (-a-1)x - a^2 y = 0 \\ ay + (a^2 - 1)z = 3 - a \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Ejercicio 2 (P2) (2.5 puntos)

Calcula la ecuación continua de una recta $r$ sabiendo que corta a la recta $s \equiv \begin{cases} 3x+y-z-7=0 \\ x+y-5=0 \end{cases}$, es paralela al plano de ecuación $\pi \equiv 2x - y + 3z - 6 = 0$ y pasa por el punto $P = (-1, 3, 1)$.

Ejercicio 3 (P3) (2.5 puntos)

Calcula los siguientes límites

$$\lim_{x \to 1} \left(2 + \sin \dfrac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2-x}}$$
(1.25 puntos)

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^4 - x^2 + 1} - \sqrt{x^4 - 1}\right)$$
(1.25 puntos)

Ejercicio 4 (P4) (2.5 puntos)

Sea la función $f(x) = \left(1 + \sin \dfrac{\pi x}{2}\right)^x$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 2]$.

(0.75 puntos)

b) Demuestra que existe $a \in (1, 2)$ tal que $f'(a) = 0$. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

(1.75 puntos)

Ejercicio 5 (P5) (2.5 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $3 \times 3$ tales que $|A| = |B| = \dfrac{1}{2}$. Calcula $|C|$ teniendo en cuenta que la matriz $C$ es la siguiente:

$$C = (2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2$$

Ejercicio 6 (P6) (2.5 puntos)

Los puntos $A = (-1, 2, 1)$ y $B = (2, 5, 1)$ son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación

$$r \equiv \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y-4}{1} = \dfrac{z+1}{-4}$$

Ejercicio 7 (P7) (2.5 puntos)

Sea la función $f(x) = (x + 3)^{\sin(\pi x)} \ln(x^2 - x + 2)$.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-1, 0]$.

(1 punto)

b) Demuestra que existe $a \in (-1, 0)$ tal que $f'(a) = -\ln 2$. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

(1.5 puntos)

Ejercicio 8 (P8) (2.5 puntos)

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = \sin(\pi x) \quad \text{y} \quad g(x) = |x^2 - x|$$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.