Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Múrcia 2020

EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD

206-MATEMÁTICAS II

EBAU2020 - JULIO

OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

$$\begin{cases} x + y - z = 4\\ x + a^2y - z = 3a\\ x - y + az = 1 \end{cases}$$

a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 0$.

b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,5 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Ejercicio 2

Considere las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

a) [1 p.] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.

b) [1,5 p.] Resuelva la ecuación matricial $AXB = A^t - 3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

Ejercicio 3

[2,5 p.] De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

Ejercicio 4

a) [2 p.] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx$.

b) [0,5 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ y la recta vertical $x = 1$.

## Ejercicio 5

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

a) [1,5 p.] Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo de vértices $A = (-1,2,3)$, $B = (3,-4,1)$ y $C = (1,-4,5)$.

b) [1 p.] Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.

Ejercicio 6

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las siguientes ecuaciones:

$$r: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z-1}{0} \quad \text{y} \quad \pi: x-2y-z = 4.$$

a) [1 p.] Estudie la posición relativa de la recta y el plano.

b) [0,5 p.] En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso contrario, calcule la distancia entre la recta y el plano.

c) [1 p.] Determine el plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

Ejercicio 7

Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.

a) [1 p.] ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4?

Ejercicio 8

En una determinada población, el 40% de los individuos lee diariamente la prensa y el 75% ve diariamente las noticias en la televisión. Además, el 25% de los individuos lee la prensa y ve las noticias en la televisión diariamente.

a) [0,5 p.] ¿Son independientes los sucesos "leer diariamente la prensa" y "ver diariamente las noticias en la televisión"?

b) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo lea la prensa diariamente pero no vea las noticias en la televisión?

c) [1 p.] Si un individuo lee la prensa diariamente, ¿cuál es la probabilidad de que también vea las noticias en la televisión?