Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Madrid 2023

Ejercicio A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes: $A$, $B$ y $C$. Los camiones de tipo $A$ tienen una capacidad de 14 toneladas, los de tipo $B$, de 24 toneladas y los de tipo $C$, de 28 toneladas. Habría que traer un camión más de tipo $A$ para igualar al número de camiones restantes. El $10\%$ de la capacidad de todos los camiones tipo $B$ supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra 302 toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?

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Ejercicio A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x) = \sqrt[3]{(x^2-1)^2}$, se pide:

a) (0.25 puntos) Estudiar si es par o impar.

b) (0.75 puntos) Estudiar su derivabilidad en el punto $x = 1$.

c) (1.5 puntos) Estudiar sus extremos relativos y absolutos.

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Ejercicio A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean los puntos $A(1,-2,3)$, $B(0,2,-1)$ y $C(2,1,0)$. Se pide:

a) (1.25 puntos) Comprobar que forman un triángulo $T$ y hallar una ecuación del plano que los contiene.

b) (0.75 puntos) Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con el plano $z = 1$.

c) (0.5 puntos) Determinar el perímetro del triángulo $T$.

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Ejercicio A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se tiene un suceso $A$ de probabilidad $P(A) = 0{,}3$.

a) (0.75 puntos) Un suceso $B$ de probabilidad $P(B) = 0{,}5$ es independiente de $A$. Calcule $P(A \cup B)$.

b) (0.75 puntos) Otro suceso $C$ cumple $P(C \mid A) = 0{,}5$. Determine $P(A \cap \overline{C})$.

c) (1 punto) Si se tiene un suceso $D$ tal que $P(\overline{A} \mid D) = 0{,}2$ y $P(D \mid A) = 0{,}5$, calcule $P(D)$.

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Ejercicio B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dado el sistema
$$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} (a+1)x & + & 4y & & & = & 0 \\ & & (a-1)y & + & z & = & 3 \\ 4x & + & 2ay & + & z & = & 3 \end{array}\right.$$
se pide:

a) (1.25 puntos) Discutirlo en función del parámetro $a$.

b) (0.5 puntos) Resolverlo para $a = 3$.

c) (0.75 puntos) Resolverlo para $a = 5$.

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Ejercicio B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2+x^2} & \text{si } x \leq -1 \\[6pt] \dfrac{2x^2}{3-3x} & \text{si } x > -1 \end{cases}$$
se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar la continuidad de la función en $\mathbb{R}$.

b) (1 punto) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2-1}$.

c) (0.75 puntos) Calcular la siguiente integral: $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx$.

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Ejercicio B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{-2}$, el plano $\pi: x - z = 2$ y el punto $A(1,1,1)$, se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ y calcular su intersección, si existe.

b) (0.75 puntos) Calcular la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi$.

c) (1 punto) Calcular el punto simétrico del punto $A$ con respecto a la recta $r$.

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Ejercicio B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La longitud de la sardina del Pacífico (Sardinops sagax) se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución normal de media $175$ mm y desviación típica $25{,}75$ mm.

a) (1 punto) Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a $16$ cm. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora?

b) (0.5 puntos) Hallar una longitud $t < 175$ mm tal que entre $t$ y $175$ mm estén el $18\%$ de las sardinas capturadas.

c) (1 punto) En altamar se procesan las sardinas en lotes de $10$. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de $15$ cm por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña?