Examen de Matemàtiques II de selectivitat — La Rioja 2020

MATEMÁTICAS II - EBAU La Rioja 2019-2020

El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados.
En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero.
Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas.
Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni
gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora
no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la
calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1 (2 puntos)

a) Calcular el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1 - \text{sen}x\cos x}{1 + \text{sen}x \cos x}\right)^{\frac{1}{\text{sen}^2 x}}$.

b) Determinar el valor de la constante real $a$ para que se satisfaga la siguiente igualdad:

$$\lim_{x \to 4} \dfrac{\text{tg}\left(\left(\frac{1}{5}+1\right)\sqrt{x}-2\right)}{x^2 - 16 + ax} = \dfrac{1}{32}.$$

Ejercicio 2 (2 puntos)

Determinar los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x) = ax^2 + b$ y $g(x) = x^2 + x + a$, sean tangentes en el punto de abcisa $x = -1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcular la recta tangente a las curvas en $x = -1$.

Ejercicio 3 (2 puntos)

Calcular el área del recinto limitado por las rectas $x = -2$, $x = 2$, el eje $OX$ y la función

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0, \\ x, & x \geq 0. \end{cases}$$

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sea la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.$$

a) Hallar $\alpha$ y $\beta$ de tal forma que $A^2 = \alpha A + \beta I$, siendo $I$ la matriz identidad.

b) Calcular $A^5$ utilizando la anterior identidad.

Ejercicio 5 (2 puntos)

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} ay + (a+1)z = a, \\ ax + z = a, \\ x + az = -a. \end{cases}$$

a) Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$.

b) Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para $a = 2$.

Ejercicio 6 (2 puntos)

Sean $A$ y $B$ las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}.$$

a) Hallar $X$ e $Y$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 3X - 5Y = A, \\ -X + 2Y = B. \end{cases}$$

b) Calcular si existen las matrices inversas de $X$ e $Y$.

Ejercicio 7 (2 puntos)

Determinar en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos:

$$\begin{cases} (a-1)x + y - z = a, \\ (a+1)x + (2a+1)y + z = -a, \\ ax + ay + z = -a. \end{cases}$$

Ejercicio 8 (2 puntos)

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

a) Hallar un vector $\vec{w}$ de módulo uno, que sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$.

b) Calcular el área del paralelogramo determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Ejercicio 9 (2 puntos)

En una clase de primero de primaria el 50 % de los niños practica natación, el 20 % practica baloncesto y el 5 % ambos deportes.

a) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.

b) Calcular la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.

Ejercicio 10 (2 puntos)

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una Normal de media 25. Además $P(X \geq 27) = P(Y \geq 30) = 0,1587$. Calcular sus respectivas varianzas.