Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Galícia 2021

MATEMÁTICAS II

O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como queira. Se responde máis preguntas das permitidas, só serán corrixidas as 5 primeiras respondidas.

Ejercicio 1 (2 puntos)

Números e Álxebra:

Sexa $A = (a_{ij})$ a matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } i = 2,\\ (-1)^j(i-1) & \text{se } i \neq 2. \end{cases}$ Explique se $A$ e $A + I$ son ou non invertibles e calcule as inversas cando existan. (Nota: $a_{ij}$ é o elemento de $A$ que está na fila $i$ e na columna $j$, e $I$ é a matriz identidade.)

Ejercicio 2 (2 puntos)

Números e Álxebra:

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o sistema $\begin{cases} x + 2y = m,\\ my + 3z = 1,\\ x + (m+2)y + (m+1)z = m+1. \end{cases}$

Ejercicio 3 (2 puntos)

Análise:

De entre todos os rectángulos situados no primeiro cuadrante que teñen dous lados sobre os eixes de coordenadas e un vértice sobre a recta $x + 2y = 4$, determine os vértices do que ten maior área.

Ejercicio 4 (2 puntos)

Análise:

Dada a función $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{se } x \leq 0,\\ -x^2 - x - 1 & \text{se } x > 0, \end{cases}$ calcule a área da rexión encerrada pola gráfica de $f$ e as rectas $y = 4x - 7$ e $y = 1$.

Ejercicio 5 (2 puntos)

Xeometría:

a) Obteña a ecuación implícita do plano $\pi$ que pasa polos puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ e $C(0,0,3)$.

b) Calcule o punto simétrico de $P(10,-5,5)$ con respecto ao plano $\pi: 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

Ejercicio 6 (2 puntos)

Xeometría:

a) Ache o valor de $a$ se o plano $\pi: ax + y + z = 0$ é paralelo á recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda,\\ y = 1 + \lambda,\\ z = 2 + \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}$.

b) Estude a posición relativa dos planos $\pi_1: 2x + y + mz + m = 0$ e $\pi_2: (m-1)x + y + 3z = 0$ en función do parámetro $m$.

Ejercicio 7 (2 puntos)

Estatística e Probabilidade:

a) Sexan $A$ e $B$ dous sucesos dun mesmo espazo mostral. Calcule $P(A)$ sabendo que $P(B) = 2P(A)$, $P(A \cap B) = 0.1$ e $P(A \cup B) = 0.8$.

b) Diga se os sucesos $A$ e $B$ son ou non independentes, se se sabe que $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$ e $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0.82$.

Ejercicio 8 (2 puntos)

Estatística e Probabilidade:

O portador dunha certa enfermidade ten un 10% de probabilidades de contaxiala a quen non estivo exposto a ela. Se entra en contacto con 8 persoas que non estiveron expostas, calcule:

a) A probabilidade de que contaxie a un máximo de 2 persoas.

b) A probabilidade de que contaxie a 2 persoas polo menos.