Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Extremadura 2025

Prueba de Acceso a la Universidad (PAU)

Universidad de Extremadura

Curso 2024-2025

Materia: MATEMÁTICAS II

Ejercicio 1A (2,5 puntos) a) 1,5 puntos, b) 1 punto

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} mx + 7y + 5z = 0 \\ x + my + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$

a) Discutir el sistema en función del parámetro m.

b) Resolverlo para el caso m=1.

Ejercicio 1B (2,5 puntos) a) 1,25 puntos, b) 1,25 puntos

Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

a) Obtener la inversa de la matriz $A^T + I$ donde $I$ es la matriz unidad de orden 3.

b) Resolver la ecuación matricial $A^T X - I = 2B - X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de A).

Ejercicio 2A (2,5 puntos) a) 1,25 puntos, b) 1,25 puntos

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}$, calcula los valores de a y b sabiendo que f(x) tiene un máximo relativo en el punto P(1,2).

b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular a=2, b=-2.

Ejercicio 2B (2,5 puntos) a) 1,25 puntos b) 1,25 puntos

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$.

a) Calcula la primitiva de $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto (5,0).

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f(x) y g(x).

Ejercicio 3A (2,5 puntos) a) 0,75 puntos, b) 1 punto, c) 0,75 puntos

Dados los puntos A=(1,2,3), B=(2,3,4), C=(3,4,3)

a) ¿Están A, B y C alineados?

b) Halla un vector que sea ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$.

c) Halla el punto simétrico del punto A respecto del punto B.

Ejercicio 3B (2,5 puntos) a) 0,75 puntos, b) 1 punto, c) 0,75 puntos

Dada la recta $s \equiv \dfrac{x}{-4} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto P(1,-1,0)

a) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta s que pase por P.

b) Calcular la distancia del punto P a la recta s.

c) Calcular el ángulo que forma la recta s con el plano π.

Ejercicio 4 (2,5 puntos) a) 0,75 puntos, b) 0,75 puntos, c) 1 punto

Se sabe que el 30% de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión "La Revuelta". La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población:

a) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas.

b) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas.

c) Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa "El Hormiguero" y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas?