Examen de Matemàtiques II de selectivitat — C. Valenciana 2025

Pregunta 1: Probabilitat i Estadística (2,5 punts) / Probabilidad y Estadística (2,5 puntos)

Una pizzeria ofereix tres tipus de pizza: margarida, vegetariana i pepperoni. Al llarg dels anys, utilitzant la seua aplicació per a telèfons intel·ligents, el restaurant ha recollit dades sobre les preferències dels clients i ha trobat que el 40% de la clientela demana pizza margarida, el 25% tria la pizza vegetariana i la resta prefereix la pizza pepperoni.

1.1 (0,25 punts) Si es tria un client a l'atzar, quina és la probabilitat que haja demanat una pizza pepperoni?

1.2 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que dos clients triats a l'atzar hagen demanat diferents tipus de pizza?

Per tal de millorar el seu servei i agilitzar els temps de preparació, la pizzeria decideix considerar un grup típic de 10 clients amb l'objectiu de decidir quantes pizzes margarida ha de preparar amb antelació i evitar retards durant les hores amb més demanda, minimitzant el malbaratament.

1.3 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que exactament 4 dels 10 clients demanen pizzes margarida?

1.4 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que almenys un dels 10 clients del grup demane una pizza margarida?

---

Pregunta 2: Àlgebra (2,5 punts) / Álgebra (2,5 puntos)

Respon a l'apartat 2.1 o a l'apartat 2.2

Opción A

2.1 En un sistema de processament d'imatges es fa servir una matriu per transformar certes dades. La matriu depèn del paràmetre real $\alpha$ i és:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}.$$

2.1.1 (1,25 punts) En un dels processos, perquè el sistema funcione, cal que la matriu siga idempotent, és a dir, que el seu quadrat coincidisca amb ella, $A^2 = A$. Obtín els valors de $\alpha$ que permeten que el sistema funcione.

2.1.2 (1,25 punts) En un altre procés diferent, cal utilitzar la matriu inversa d'$A$. Obtín els valors de $\alpha$ per als quals hi ha la inversa i calcula aquesta inversa en funció de $\alpha$.

---

Opción B

2.2 Siga el sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} 3x - 2y - 3z = 0 \\ 2x + ay - 5z = -3 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases}$$

on $a$ és un paràmetre real.

2.2.1 (1 punt) Discuteix el sistema en funció del paràmetre $a$.

2.2.2 (0,75 punts) Calcula les solucions del sistema quan aquest siga compatible indeterminat.

2.2.3 (0,75 punts) Calcula la solució del sistema per a $a = 0$.

---

Pregunta 3: Geometria (2,5 punts) / Geometría (2,5 puntos)

Respon a l'apartat 3.1 o a l'apartat 3.2

Opción A

3.1 Donada la recta $r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$ i la recta $s: \begin{cases} x = -1 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}$, calcula:

3.1.1 (1 punt) Si existeixen, les coordenades del punt de tall de totes dues rectes.

3.1.2 (1 punt) L'equació del pla que conté totes dues rectes.

3.1.3 (0,5 punts) La distància del punt $P = (1,0,2)$ a aquest pla.

---

Opción B

3.2 Donats el pla $\pi: 3x - y + 2z = 4$ i el punt $P = (-1,0,1)$, obtín:

3.2.1 (1 punt) L'equació del pla perpendicular a $\pi$ que passa per $P$ i per $Q = (2,1,2)$.

3.2.2 (0,5 punts) La distància del punt $Q$ al pla $\pi$.

3.2.3 (1 punt) El punt simètric de $P$ respecte al pla $\pi$.

---

Pregunta 4: Anàlisi (2,5 punts) / Análisis (2,5 puntos)

Respon a l'apartat 4.1 o a l'apartat 4.2

Opción A

4.1 Una empresa de paqueteria vol dissenyar diferents models de caixes. Un d'aquests models consisteix en una caixa de $80\ \text{cm}^3$ de volum, amb base i tapa quadrades. El preu del material de les parets laterals és d'1 cèntim per $\text{cm}^2$. La base i la tapa es construiran amb un material de qualitat superior a les cares laterals de la caixa i que és un 25% més car.

Obtín:

4.1.1 (0,75 punts) La funció $P(x)$ que proporciona el preu del material de la caixa en funció del costat de la base $x$.

4.1.2 (1,25 punts) Les dimensions de la caixa perquè la funció $P(x)$ tinga el menor valor possible.

4.1.3 (0,5 punts) El preu del material en el cas anterior.

---

Opción B

4.2 Donada la funció real de variable real

$$f(x) = x|x-2|.$$

4.2.1 (1 punt) Representa la regió compresa entre la gràfica de la funció $f$, l'eix d'abscisses (eix OX) i les rectes $x = -1$ i $x = 5$.

4.2.2 (1,5 punts) Calcula l'àrea de la regió anterior.