Examen de Matemàtiques II de selectivitat — C. Valenciana 2023

Problema 1

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix}m \\ 0 \\ 9\end{pmatrix}$:

a) Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^2 X = B$ tiene solución en función del parámetro real $m$. (4 puntos)

b) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan. (6 puntos)

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Problema 2

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0\end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix}0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0\end{pmatrix}$:

a) Obtener la matriz $(AB^T + I)^{-1}$, donde $I$ es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6 puntos)

b) Comprobar que $C^2 = -\alpha^3 I$, donde $I$ es la matriz identidad, y calcular $C^{13}$. (4 puntos)

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Problema 3

Dada la recta $r:\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}$ y los puntos $P = (0,0,3)$ y $Q = (2,2,a)$, obtener:

a) Los valores del parámetro real $a$, si existen, para los que son paralelas la recta $r$ y la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$. (6 puntos)

b) La ecuación del plano perpendicular a $r$ y que pasa por $P$. (4 puntos)

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Problema 4

Dada la recta $r:\begin{cases} 5x + y + 7z = 16 \\ 9x - y + 7z = 12 \end{cases}$ y el punto $P = (0,5,2)$, se pide:

a) Comprobar que el punto $Q = (2,6,0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$. (2 puntos)

b) Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$. (3 puntos)

c) Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$. (5 puntos)

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Problema 5

Considerar la función $f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln(x+1)$. Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de $f(x)$. (2 puntos)

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (4 puntos)

c) El área comprendida entre la curva $y = f(x)$ y las rectas $y = 0$, $x = 1$ y $x = 2$. (4 puntos)

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Problema 6

El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y = -x^2 + 12$, donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y = 0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:

a) Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible. (6 puntos)

b) Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra. (4 puntos)

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Problema 7

Tenemos dos monedas distintas $M_1$ y $M_2$. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_1$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_2$ es $y$.

a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)

b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)

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Problema 8

Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5% de los vuelos con procedencia nacional, el 4% de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6,25% del resto de vuelos se retrasan:

a) Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase. (5 puntos)

b) Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea. (5 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.