Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2025

Exercici 1

Considereu la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1}$.

a) Determineu els talls de la corba $y = f(x)$ amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.
[1 punt]

b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba $y = f(x)$ en els punts $x = 0$ i $x = 2$. Aquestes dues rectes són paraŀleles? Justifiqueu la resposta.
[1 punt]

c) Hi ha algun punt on la recta tangent a $f(x)$ tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo.
[0,5 punts]

---

Exercici 2

Considereu el sistema d'equacions lineals següent:

$$\left.\begin{aligned} y - z &= p + 3 \\ p^2 x - z &= 5 \\ x - y &= 3 \end{aligned}\right\}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $p$.
[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema per al cas $p = -1$.
[0,5 punts]

c) Per al cas $p = -1$, hi ha alguna solució que compleixi, a més, $xy = 10$? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n'hi ha i trobeu-les totes.
[0,75 punts]

---

Exercici 3

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d'acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d'acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d'acer són defectuoses.

a) Si agafem una peça a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa?
[0,75 punts]

b) L'empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut $p$, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l'expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n'hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de $p$) és $f(p) = 5(p^4 - p^5)$.
[0,75 punts]

c) Considereu la funció $f(p)$ de l'apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren $f(p)$ quan $p \geq 0$.
[1 punt]

---

Exercici 4

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen.

Opció A

La vela major d'un veler té forma semiparabòlica i està delimitada per les gràfiques de $f(x) = -x^2 + 25$, $y = 0$ i $x = 0$, tal com s'indica a la figura següent:

[GRÀFICO (p.8): Regió semiparabòlica delimitada per $f(x) = -x^2 + 25$, l'eix $x$ ($y=0$) i l'eix $y$ ($x=0$). La recta $y = 9$ divideix la regió en dues parts: Regió superior (teixit de niló) i Regió inferior (teixit de polièster). L'eix horitzontal va de $-10$ a $10$ i el vèrtex de la paràbola és a $(0, 25)$.]

La vela té dues parts separades per la recta $y = 9$. Per a construir-la, s'empra un teixit de niló a la part superior, que costa $50\ €/\text{u}^2$, i un teixit de polièster a la part inferior, que costa $70\ €/\text{u}^2$. Calculeu el cost total del material que es necessita per a construir aquesta vela.
[2,5 punts]

---

Opció B

Considereu el pla $\pi$ d'equació $x + y = 0$.

a) Calculeu l'equació del pla $\pi'$ que és perpendicular a $\pi$ i conté els punts $P = (1, -1, 2)$ i $Q = (3, -3, 6)$.
[1 punt]

b) Calculeu l'equació paramètrica de la recta continguda en $\pi'$ i que conté els punts de $\pi'$ a la mateixa distància de $P$ que de $Q$.
[1,5 punts]