Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2024

Pregunta 1

Considereu la funció $f(x) = 2\dfrac{\ln x}{x}$, definida per a $x > 0$.

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement.
[1 punt]

b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica.
[1 punt]

c) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $y = f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$.
[0,5 punts]

---

Pregunta 2

Considereu el sistema d'equacions següent:

$$\begin{cases} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + kz = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{cases}$$

on $k$ és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $k$, i resoleu-lo per a $k = 0$.
[1 punt]

b) Resoleu el sistema per a $k = -1$.
[0,75 punts]

c) Per a $k = -1$, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta.
[0,75 punts]

---

Pregunta 3

En Joan troba entre els papers del seu avi un esbós com el de la figura adjunta, on es descriu un terreny de regadiu que ha deixat en herència al seu pare.

[GRÀFIC (p.6): Regió ombrejada delimitada per la corba $y = f(x)$ i la recta horitzontal $y = 5$. S'indiquen tres punts sobre la corba/recta: $P$ (intersecció de la corba amb $y=5$ a l'esquerra de la zona ombrejada), $Q$ (a la dreta sobre $y=5$) i $R$ (sobre la corba a la dreta, per sota de $y=5$). El valor 5 s'indica a l'eix $y$.]

La corba de la gràfica és $y = f(x)$, amb $f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5$.

a) A partir de l'expressió de $f(x)$, calculeu les coordenades dels punts $P$, $Q$ i $R$ indicats a la figura. Calculeu també l'equació de la recta $PR$.
[1,25 punts]

b) Calculeu la superfície del terreny.
[1,25 punts]

---

Pregunta 4

L'Andreu posa les nou boles que es mostren a continuació dins d'una bossa.

[GRÀFIC (p.8): Nou boles amb les lletres: B, A, Y, E, S, F, A, N, S]

a) A continuació, treu de la bossa dues boles a l'atzar, una darrere l'altra i sense reemplaçament (és a dir, no retorna a la bossa la primera bola abans de treure la segona).

— Calculeu la probabilitat que la primera bola sigui una A o una E.
[0,5 punts]

— Calculeu la probabilitat que les dues boles siguin diferents.
[0,75 punts]

b) L'Andreu torna a posar totes les boles a la bossa i en treu cinc a l'atzar, una darrere l'altra, però ara amb reemplaçament (és a dir, ara sí que retorna a la bossa cada bola extreta abans d'agafar la següent).

— Calculeu la probabilitat que no hagi tret cap A.
[0,5 punts]

— Calculeu la probabilitat que hagi tret almenys dues A.
[0,75 punts]

---

Pregunta 5

Volem construir un petit cobert de fusta de $6\ \text{m}^3$ de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d'una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d'amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de $30\ €$ i el sostre costa $50\ €$ per metre quadrat. Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de $35\ €$.

a) Comproveu que el cost de construcció del cobert ve donat per la funció

$$C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35$$

on $x$ és la fondària del cobert en metres.
[1,25 punts]

b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?
[1,25 punts]

---

Pregunta 6

Considereu els punts $A = (1, 2, 3)$ i $B = (-3, -2, 3)$.

a) Calculeu l'equació del pla $\pi$ que és perpendicular a la recta $AB$ i que passa pel punt mitjà entre $A$ i $B$. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts $P = (x, y, z)$ que estan a igual distància de $A$ que de $B$, és a dir, $d(P, A) = d(P, B)$.
[1 punt]

b) Calculeu les distàncies de $A$ i de $B$ al pla $\pi$ i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta.
[0,75 punts]

c) Sigui $C = (-7, 6, 3)$. El triangle $ABC$ és isòsceles? Calculeu la seva àrea.
[0,75 punts]