Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2023

Matemàtiques — Sèrie 1 (2023)

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

---

Qüestió 1

Calculeu els coeficients $a$, $b$, $c$ i $d$ de la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'inflexió $(1, 0)$ és $y = -3x + 3$ i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa $x = 0$.

[2,5 punts]

---

Qüestió 2

Considereu les dues matrius següents:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

a) Calculeu les matrius $A \cdot B$ i $B \cdot A$.
[1,5 punts]

b) Siguin $C$ i $D$ dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan $C \cdot D = C$ i $D \cdot C = D$. Comproveu que les dues matrius, $C$ i $D$, són idempotents.
[1 punt]

Nota: Una matriu quadrada s'anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.

---

Qüestió 3

Sigui

$$f'(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{si } x \leq 2 \\ \dfrac{1}{x-1}, & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

la funció derivada d'una funció derivable $f(x)$ que passa pel punt $A = (0, 3)$.

a) Calculeu la funció $f(x)$.
[1,5 punts]

b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció $f'(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$.
[1 punt]

---

Qüestió 4

Sigui el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $\lambda$:

$$\begin{cases} x + 2\lambda y + (2 + \lambda)z = 0 \\ (2 + \lambda)x + y + 2\lambda z = 3 \\ 2\lambda x + (2 + \lambda)y + z = -3 \end{cases}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $\lambda$.
[1,25 punts]

b) Per al cas $\lambda = -1$, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució.
[1,25 punts]

---

Qüestió 5

La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de $8\ \text{m}^2$ per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats.

El preu de la tanca que vol fer servir és de $2{,}5\ €/\text{m}$.

[GRÀFICO (p.10): Diagrama d'un jardí rectangular amb un tancat rectangular a la part superior tocant al mur, etiquetat "Tancat per al gos"; el rectangle gran representa el "Jardí".]

a) Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim?
[1,75 punts]

b) Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta.
[0,75 punts]

---

Qüestió 6

Siguin els plans $\pi_1$ i $\pi_2$, determinats respectivament per les equacions $\pi_1: x + y = 3$ i $\pi_2: x - z = -2$.

a) Trobeu l'equació general ($Ax + By + Cz + D = 0$) del pla $\pi_3$, que és perpendicular a $\pi_1$ i $\pi_2$, i que passa pel punt $P = (4, 1, 2)$.
[0,75 punts]

b) Sigui $r$ la recta d'intersecció de $\pi_1$ i $\pi_2$. Calculeu l'equació vectorial de la recta $r$.
[0,75 punts]

c) Calculeu el punt $Q$ de la recta $r$ que és més a prop del punt $P$.
[1 punt]

---

---

Matemàtiques — Sèrie 5 (2023)

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

---

Qüestió 1

Considereu les funcions $f(x) = -x^2 + x + 6$ i $g(x) = -9x + 3x^2$.

a) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per les dues funcions.
[1,25 punts]

b) Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt $(-2, 0)$. Representeu aquesta recta tangent i les funcions $f(x)$ i $g(x)$ en uns mateixos eixos de coordenades.
[1,25 punts]

---

Qüestió 2

Considereu el sistema d'equacions lineals

$$\begin{cases} x - y + kz = -1 \\ x + ky + z = 3 \\ 2x + (k-1)y + 2z = 2 \end{cases}$$

en què $k$ és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema en funció del valor de $k$.
[1,5 punts]

b) Resoleu el sistema per a $k = 0$ i per a $k = 1$.
[1 punt]

---

Qüestió 3

Considereu les rectes a l'espai $r: x = -y = z + m$ i $s: \begin{cases} x + y = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}$, en què $m$ és un paràmetre real.

a) Estudieu la posició relativa per als diferents valors del paràmetre $m$.
[1,25 punts]

b) Calculeu $m$ perquè la distància entre les rectes $r$ i $s$ sigui de $\sqrt{2}$ unitats.
[1,25 punts]

---

Qüestió 4

En una carretera principal hi trobem el poble $A$. A 12 km del poble $A$, hi ha un encreuament $O$ amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l'encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble $B$. Es vol construir una torre de comunicacions $T$ en un punt de la carretera principal situat entre el poble $A$ i l'encreuament $O$. Aquesta torre ha d'estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $B$ té un preu de $250\ €/\text{km}$ i, en canvi, instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $A$ té un preu de $125\ €/\text{km}$. Determineu a quina distància de l'encreuament $O$ a la carretera principal cal situar la torre $T$ perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d'aquest preu mínim.

[2,5 punts]

[GRÀFICO (p.24): Diagrama geomètric amb eixos: la carretera principal és horitzontal amb els punts O (encreuament, a l'esquerra), T (torre, al centre) i A (poble A, a la dreta); la carretera secundària és vertical cap amunt des d'O fins a B (poble B). S'indiquen les línies rectes de T a B i de T a A.]

---

Qüestió 5

Considereu la família $S$ de matrius de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, en què $a, b \in \mathbb{R}$.

a) Calculeu $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$.
[1,25 punts]

b) Trobeu totes les matrius de la família $S$, és a dir, de la forma $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, que verifiquin la igualtat $A^2 = I$, en què $I$ és la matriu identitat d'ordre 2.
[1,25 punts]

---

Qüestió 6

Sigui la funció $f(x) = \dfrac{ax^2 + x + b}{x^2 + 1}$.

a) Calculeu els valors dels paràmetres $a$ i $b$ si sabem que la gràfica de la funció $f$ té un extrem relatiu en $x = -1$ i passa pel punt $P = \left(-2,\ \dfrac{13}{5}\right)$.
[1,25 punts]

b) Per al cas $a = b$, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció.
[1,25 punts]