Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2021

Matemàtiques

Sèrie 2 · 2021

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

Exercici 1 (Qüestió 1 · 2,5 punts)

Considereu la paràbola $y = 4 - x^2$ i un valor $a > 0$.

a) Comproveu que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d'abscissa $x = a$ és $y = -2ax + a^2 + 4$ i calculeu els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

[1,25 punts]

b) Calculeu el valor de $a > 0$ perquè l'àrea del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui mínima.

[1,25 punts]

Exercici 2 (Qüestió 2 · 2,5 punts)

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $p$:

$$\begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $p$.

[1,5 punts]

b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $p = 2$.

[1 punt]

Exercici 3 (Qüestió 3 · 2,5 punts)

Considereu el punt $P = (-1, 3, 1)$, el pla $\pi: x = y$ i la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = z - 2$.

a) Trobeu les coordenades del punt $P'$ simètric a $P$ respecte al pla $\pi$.

[1,25 punts]

b) De tots els plans que contenen la recta $r$, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla $\pi$.

[1,25 punts]

Exercici 4 (Qüestió 4 · 2,5 punts)

Sigui la funció $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$ definida en el domini $x > 0$, en què ln és el logaritme neperià.

a) Trobeu les coordenades d'un punt de la corba $y = f(x)$ en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt.

[1 punt]

b) Determineu si la funció $f(x)$ té alguna asímptota horitzontal.

[0,5 punts]

c) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per la corba $y = f(x)$ i les rectes $x = 1$ i $x = e$. Feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció en el domini $0 < x < 5$, en què quedi representada l'àrea que heu calculat.

[1 punt]

Exercici 5 (Qüestió 5 · 2,5 punts)

a) Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resoleu l'equació matricial $A^2X = A - 3I$, en què $I$ és la matriu identitat.

[1,25 punts]

b) Una matriu quadrada $M$ satisfà que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, en què $I$ és la matriu identitat. Justifiqueu que $M$ és invertible i expresseu la inversa de $M$ en funció de les matrius $M$ i $I$.

[1,25 punts]

Exercici 6 (Qüestió 6 · 2,5 punts)

Considereu la funció $f(x) = e^{x-1} - x - 1$.

a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement.

[1,25 punts]

b) Demostreu que l'equació $f(x) = 0$ té exactament dues solucions entre $x = -1$ i $x = 3$.

[1,25 punts]

---

Matemàtiques

Sèrie 5 · 2021

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

Exercici 7 (Qüestió 1 · 2,5 punts)

Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.

a) Raoneu que la matriu $B$ és invertible i després calculeu $B^{-1}$.

[1,25 punts]

b) Calculeu la matriu $X$ que satisfà la igualtat $A + B \cdot X = C \cdot A$.

[1,25 punts]

Exercici 8 (Qüestió 2 · 2,5 punts)

Siguin les funcions $f(x) = x^3 - 9x$ i $g(x) = 7x$.

a) Estudieu els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$.

[1,25 punts]

b) Calculeu l'àrea de la regió del semiplà $x \geq 0$ compresa entre les gràfiques de $f(x)$ i $g(x)$.

[1,25 punts]

Exercici 9 (Qüestió 3 · 2,5 punts)

Considereu els punts de l'espai tridimensional $A = (1, a, 1)$, $B = (a, 1, 2)$, $C = (1, 1, 1)$ i $D = (0, 0, 0)$, en què $a$ és un paràmetre real.

a) Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté).

[1,25 punts]

b) Per al valor $a = 2$, calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$.

[1,25 punts]

NOTA: Per a calcular l'àrea del triangle definit pels vectors $v$ i $w$, podeu fer servir l'expressió $S = \dfrac{1}{2}\|v \times w\|$, en què $v \times w$ és el producte vectorial dels vectors $v$ i $w$.

Exercici 10 (Qüestió 4 · 2,5 punts)

La resistència al trencament $R$ d'una biga de secció rectangular de base $x$ i altura $y$ és directament proporcional al producte $xy^2$; per tant, $R = kxy^2$, en què $k$ és una constant positiva. Disposem d'un tronc de fusta en forma de cilindre de diàmetre $d$ com el de la figura.

[Figura: Cilindre de fusta amb diàmetre $d$. Dins del cilindre es mostra una secció rectangular amb base $x$ i altura $y$.]

a) Comproveu que la resistència $R$ de la biga rectangular de base $x$ que podem construir amb aquest tronc ve donada per l'expressió $R = kx(d^2 - x^2)$.

[1,25 punts]

b) Calculeu les dimensions de la biga rectangular de resistència màxima que podem construir a partir d'aquest tronc i calculeu aquesta resistència màxima.

[1,25 punts]

Exercici 11 (Qüestió 5 · 2,5 punts)

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + 2y + az = 8 \\ 2x + y - az = 1 \\ 3x - 3az = 1 \end{cases}$$

a) Comproveu que, per a qualsevol valor del paràmetre $a$, el sistema d'equacions lineals no té solució.

[1,25 punts]

b) Interpreteu geomètricament el sistema d'equacions lineals. Feu un dibuix esquemàtic que representi la posició relativa dels tres plans.

[1,25 punts]

Exercici 12 (Qüestió 6 · 2,5 punts)

Resoleu les dues qüestions següents:

a) Sigui $f(x) = 2x^3 + mx^2 + nx + p$ una funció que té dos extrems relatius en $x = -3$ i en $x = 1$ i que passa pel punt $(3, 4)$. Calculeu els valors de $m$, $n$ i $p$.

[1,25 punts]

b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = \dfrac{1-x}{1+x}$ en $x = -3$.

[1,25 punts]