Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Catalunya 2020

Proves d'accés a la universitat

Matemàtiques

Sèrie 1

---

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

---

Exercici 1 (Qüestió 1 · 2,5 punts)

Tracem la recta tangent a la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + 1$ per un punt $P = (a, f(a))$ del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.

a) Comproveu que l'àrea d'aquest triangle, en funció de $a$, ve donada per la funció

$$g(a) = \dfrac{(a^2 + 3)^2}{4a}.$$

[1,25 punts]

[Figura: Gràfica de la funció en el pla cartesià. Eix x de -1 a 2, eix y de -1 a 4. La corba decreixent passa aproximadament pels punts (0,4), (1,2) i tendeix asimptòticament a y=1 quan x creix.]

b) En quin punt $P$ l'àrea del triangle és mínima? Calculeu aquest valor mínim.

[1,25 punts]

---

Exercici 2 (Qüestió 2 · 2,5 punts)

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} 5x + y + 4z = 19 \\ kx + 2y + 8z = 28 \\ 5x + y - kz = 23 + k \end{cases}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $k$.

[1,25 punts]

b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $k = 0$.

[1,25 punts]

---

Exercici 3 (Qüestió 3 · 2,5 punts)

a) Calculeu l'equació general del pla $\pi$ que passa pel punt $(8, 8, 8)$ i té com a vectors directors $\mathbf{u} = (1, 2, -3)$ i $\mathbf{v} = (-1, 0, 3)$.

[1,25 punts]

b) Determineu el valor del paràmetre $a$ perquè el punt $(1, -5, a)$ pertanyi al pla $\pi$ i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla $\pi$.

[1,25 punts]

---

Exercici 4 (Qüestió 4 · 2,5 punts)

Considereu la funció $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x}$, en què $a$ i $b$ són dos paràmetres reals. Calculeu els valors de $a$ i $b$ de manera que la funció $f(x)$ tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d'abscissa $x = 2$.

[2,5 punts]

---

Exercici 5 (Qüestió 5 · 2,5 punts)

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$.

a) Trobeu la matriu $X$ que satisfà l'equació $AX = I - 3X$, en què $I$ és la matriu identitat d'ordre 2.

[1,25 punts]

b) Comproveu que la matriu $X$ és invertible i calculeu-ne la matriu inversa.

[1,25 punts]

---

Exercici 6 (Qüestió 6 · 2,5 punts)

Considereu la funció $f(x) = x^3$.

a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a $y = f(x)$ és paral·lela a la recta $3x - y = 4$. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes.

[1,25 punts]

b) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per $y = f(x)$ i la recta $y = 3x + 2$.

[1,25 punts]

---

Proves d'accés a la universitat

Matemàtiques

Sèrie 3

---

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2,5 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

---

Exercici 7 (Qüestió 1 · 2,5 punts)

Sigui $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$, en què $a$ és un paràmetre real.

a) Determineu el rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$.

[1,25 punts]

b) Comproveu que $\det(A^2 + A) = 0$.

[1,25 punts]

---

Exercici 8 (Qüestió 2 · 2,5 punts)

S'han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcialment la cova format per l'arc de corba $y = 4 - x^2$ d'extrems $(0, 4)$ i $(2, 0)$. La cova està situada en el punt de coordenades $(0, 2)$, tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés rectilini $d$ des del camí a la cova que sigui el més curt possible.

a) Identifiqueu a la gràfica de la figura les coordenades de la cova i del punt del camí des d'on es vol habilitar l'accés. Comproveu que la funció $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4}$ calcula la distància des de cada punt del camí a la cova.

[1,25 punts]

[Figura: Esquema amb un eix vertical i un arc de corba descendent etiquetat "Camí". Un punt marcat "Cova" a l'esquerra i una línia discontínua "d" que connecta la cova amb el camí.]

b) Calculeu les coordenades del punt del camí que queda més a prop de la cova i digueu quina serà la longitud de l'accés $d$.

[1,25 punts]

---

Exercici 9 (Qüestió 3 · 2,5 punts)

Considereu el sistema d'equacions lineals següent:

$$\begin{cases} ax + y = a \\ x + ay + z = 5 \\ x + 2y + z = 5 \end{cases}$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $a$.

[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema per al cas $a = 2$.

[1,25 punts]

---

Exercici 10 (Qüestió 4 · 2,5 punts)

Sigui la funció $f(x) = \dfrac{1}{x} \cdot \ln(x)$, en què $\ln$ indica el logaritme neperià, definida per a $x > 0$.

a) Calculeu les coordenades del punt de la corba $y = f(x)$ en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo.

[1,25 punts]

b) Calculeu l'àrea del recinte delimitat per la corba $y = f(x)$, les rectes verticals $x = 1$ i $x = e$ i l'eix de les abscisses.

[1,25 punts]

---

Exercici 11 (Qüestió 5 · 2,5 punts)

Considereu la recta $r$ d'equació $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-3}{-2} = \dfrac{z}{1}$ i la recta $s$ que passa pel punt $P = (2, -5, 1)$ i que té per vector director $(-1, 0, -1)$.

a) Estudieu la posició relativa de les rectes $r$ i $s$.

[1,25 punts]

b) Calculeu l'equació general del pla que és paral·lel a la recta $r$ i conté la recta $s$.

[1,25 punts]

---

Exercici 12 (Qüestió 6 · 2,5 punts)

Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de 20 cm de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l'una al costat de l'altra es vegi un dibuix continu (figura 1).

[Figura: Figura 1 mostra tres rajoles quadrades consecutives amb un patró ondulat que divideix cada quadrat en dues regions (superior clara i inferior fosca). Figura 2 mostra una sola rajola amb el mateix patró ondulat.]

Per a fer-ho, l'empresa utilitza en cada rajola la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ enquadrada entre els punts de coordenades $(0, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 0)$ i $(2, 2)$, tal com es mostra en la figura 2, i fa servir com a unitat de mesura el decímetre.

a) Justifiqueu que, efectivament, aquesta funció permet ajuntar les rajoles de manera contínua i derivable.

[1,25 punts]

b) Justifiqueu que aquesta funció divideix el quadrat esmentat en dues parts que tenen la mateixa superfície.

[1,25 punts]