Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Castella i Lleó 2023

Ejercicio 1 (Álgebra)

Calcular $\lambda$ y $\mu$ para que el sistema de ecuaciones lineales

$$\begin{cases} x + 2y + z = \mu \\ \lambda x + y = 1 \\ y + \lambda z = -1 \end{cases}$$

tenga infinitas soluciones. (2 puntos)

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Ejercicio 2 (Álgebra)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x+y \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, calcular los valores de $x, y, z \in \mathbb{R}$ para que $AB$ sea igual a la inversa $C^{-1}$ de la matriz $C$. (2 puntos)

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Ejercicio 3 (Geometría)

Calcular la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular al plano $\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0$ y pasa por los puntos $P = (0,0,0)$ y $Q = (0,1,1)$. (2 puntos)

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Ejercicio 4 (Geometría)

Dados el plano $\pi \equiv x + 2y - 2z = 0$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{-2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-1}{1}$, se pide:

a) Comprobar que $r$ es paralela a $\pi$. (1 punto)

b) Hallar el plano $\sigma$, distinto de $\pi$ y paralelo a $\pi$, cuya distancia a $r$ coincide con la de $\pi$. (1 punto)

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Ejercicio 5 (Análisis)

a) Determinar $a$ y $b$ de modo que las funciones $f(x) = x^2 - a$ y $g(x) = (x-b)e^x$ tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. (1 punto)

b) Demostrar que la función $f(x) = 2x + \text{sen}\, x$ solo se anula en el punto $x = 0$. (1 punto)

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Ejercicio 6 (Análisis)

a) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función $f(x) = x(\ln x - 1)$. (1 punto)

b) Calcúlese $\displaystyle\int x(\ln x - 1)\,dx$. (1 punto)

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Ejercicio 7 (Análisis)

Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}$. (2 puntos)

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Ejercicio 8 (Análisis)

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = xe^{-x}$ y el eje de abscisas cuando $x$ varía en el intervalo $[-1, 0]$. (2 puntos)

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Ejercicio 9 (Probabilidad y Estadística)

Un 50% de los participantes en un torneo abierto de ajedrez celebrado en Salamanca son españoles, un 30% son europeos no españoles y los demás proceden del resto del mundo. De ellos, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos no pasan de los 40 años.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. (0,6 puntos)

b) Si se selecciona un participante al azar, ¿calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años? (0,7 puntos)

c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? (0,7 puntos)

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Ejercicio 10 (Probabilidad y Estadística)

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente? (2 puntos)