Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Castella i Lleó 2021

MATEMÁTICAS II

Ejercicio 1 (Álgebra)

a) Discutir según los valores del parámetro λ el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ x + y + \lambda z = 0 \end{cases}$$

(1,2 puntos)

b) Resolverlo para $\lambda = -1$. (0,8 puntos)

Ejercicio 2 (Álgebra)

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

a) Determinar los valores de $n$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa. (1 punto)

b) Para $n = 2$, hallar la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (1 punto)

Ejercicio 3 (Geometría)

a) Hallar la recta perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + z = 1$ que pasa por el punto $A = (0,0,0)$. (0,8 puntos)

b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos $P = (1,1,1)$ y $Q = (1,3,-1)$ son simétricos. (1,2 puntos)

Ejercicio 4 (Geometría)

Dados la recta $r \equiv \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z}{-2}$ y el punto $P = (0,0,0)$, hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y pasa por el punto $P$. (2 puntos)

Ejercicio 5 (Análisis)

Representar la función $f(x) = e^{(x^2)}$, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)

Ejercicio 6 (Análisis)

Calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - \cos(3x)}{\sin^2(x)}$. (2 puntos)

Ejercicio 7 (Análisis)

a) Dadas las funciones $f(x) = x^2$, $g(x) = -x^2 + 8$, hallar los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que $g(x) \geq f(x)$. (0,5 puntos)

b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (1,5 puntos)

## Ejercicio 8 (Análisis)

Hallar los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales el polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ cumple las siguientes condiciones:

• $P(0) = 1$

• La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en $x = 0$ es $m = 1$.

• $\int_0^2 P(x)dx = 12$. (2 puntos)

Ejercicio 9 (Probabilidad y Estadística)

En un club deportivo, el 55% de los socios son hombres y el 45% mujeres. Entre los socios, el 60% de los hombres practica la natación, así como el 40% de las mujeres.

a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. (1,25 puntos)

b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? (0,75 puntos)

Ejercicio 10 (Probabilidad y estadística)

El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media 20 y de desviación típica 4.

a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? (1 punto)

b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del 96.41% de los test? (1 punto)