Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Castella i Lleó 2020

MATEMÁTICAS II

Ejercicio 1 (Álgebra)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} x - y + az = 0\\ x - z = 0\\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}$$

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$. (1,2 puntos)

b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a = -1$. (0,8 puntos)

Ejercicio 2 (Álgebra)

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ a-3 & a-3 \end{pmatrix}$.

a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$. (0,5 puntos)

b) Si $a = 4$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$,

encuentre la matriz $X$ que verifica que $B + XA = C$. (1,5 puntos)

Ejercicio 3 (Geometría)

Sea el plano $\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases}$ y el punto A=(1, 3, -1).

Hallar la ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$. (2 puntos)

Ejercicio 4 (Geometría)

Dados el punto A(1,2,4) y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{2}$,

a) Hallar un punto $B$ de la recta $r$ de forma que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano $\pi \equiv x + 2z = 0$. (1,5 puntos)

b) Hallar un vector $(a,b,c)$ perpendicular a $(1,0,-1)$ y $(2,1,0)$. (0,5 puntos)

Ejercicio 5 (Análisis)

Representar gráficamente la función $f(x) = xe^x$, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)

## Ejercicio 6 (Análisis)

Demuestre que la ecuación $x^3 - 12x = -2$ tiene una solución en el intervalo $[-2,2]$ y

pruebe además que esa solución es única. (2 puntos)

Ejercicio 7 (Análisis)

a) Calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - \cos x - x}{e^x + \sen x - 1}$. (1 punto)

b) Calcular $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sen x + \cos x)dx$ (1 punto)

Ejercicio 8 (Análisis)

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones $f(x) = \dfrac{2}{x}$ y $g(x) = 3 - x$. (0,5 puntos)

b) Sabiendo que en el intervalo [1,2] se verifica que $g(x) \geq f(x)$ calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. (1,5 puntos)

## Ejercicio 9 (Probabilidad y estadística)

El peso de los alumnos de 2º de bachillerato de un instituto de León, sigue una distribución normal, de media 75 kg y de desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:

a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. (1 punto)

b) Tenga un peso superior a 85 kg. (1 punto)

Ejercicio 10 (Probabilidad y estadística)

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,6, 0,3 y 0,1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,4 para los de tonelaje medio y 0,6 para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. (1 punto)

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. (1 punto)