Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Cantàbria 2026

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD, PAU

Prueba Ordinaria

Junio 2026

Matemáticas II

INDICACIONES

– Para obtener la máxima calificación, se debe responder a una tarea de cada apartado/bloque.

– En aquellos apartados/bloques en los que se ofrece la posibilidad de elegir entre varias tareas, se debe responder solo a una de las opciones. Si se realiza más de una opción, se corregirá la primera de ellas, según el orden en que aparecen resueltas en el cuadernillo de examen.

– Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

– Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado.

– No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1 (APARTADO 1 [2,5 puntos]. Bloque A+D. Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):)

1A) Considera la matriz presentada a continuación,

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a) [0,5 puntos] Estudia el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$.

b) [1 punto] Calcula $A^{100}$ en función del parámetro $a$.

c) [1 punto] Para $a = -1$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple:

$$AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 2 (1B)

1B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + az = 1 \\ ay + z = 2 - a \end{cases}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a) [1,5 puntos] Discute el sistema en función de los valores de $a$.

b) [0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

c) [0,5 puntos] Considera $a = 1$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

Ejercicio 3 (APARTADO 2 [2,5 puntos]. Bloque B. Resuelve una de las siguientes tareas (2A o 2B):)

2A) Considera la función presentada a continuación,

$$f(x) = \dfrac{x^2 + ax + 1}{x + a^2}$$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a) [1 punto] Calcula los valores de $a$ para los que $f(x)$ tiene como asíntota oblicua a la recta: $y = x - 6$.

b) [1 punto] Considera $a = -2$, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

c) [0,5 puntos] Considera $a = -2$, halla la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x = -1$.

Ejercicio 4 (2B)

2B) Considera la función real presentada a continuación,

$$f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^{2x} - 4}$$

y responde a las siguientes cuestiones:

a) [1 punto] Si existen, calcula las asíntotas de $f(x)$.

b) [1,5 puntos] Calcula una primitiva de $f(x)$ que en $x = ln\,4$ tome el valor $ln\,2$.

Ejercicio 5 (APARTADO 3 [2,5 puntos]. Bloque C. Resuelve esta cuestión.)

3) Considera los puntos $A = (0, 0, 4)$, $B = (-3, 0, 0)$ y $C = (0, -2, 0)$.

a) [0,5 puntos] Halla la ecuación general o implícita del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$.

b) [1 punto] Calcula la distancia entre el punto $P = (1, 1, 1)$ y la recta que contiene a $A$ y $B$.

c) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro formado por los vértices $A$, $B$, $C$ y $D = (0, 0, 0)$.

Ejercicio 6 (APARTADO 4 [2,5 puntos]. Bloque E. Resuelve una de las siguientes tareas (4A o 4B).)

4A) En un criadero de cobayas tienen variedades de pelo corto y de pelo largo. En cualquiera de estas variedades, disponen de animales blancos o marrones. Del total de cobayas, el 60% es de pelo corto, y solo el 8% son blancas de pelo largo.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que, habiendo elegido una cobaya de pelo largo al azar, esta sea de color marrón.

Si la probabilidad de escoger al alzar una cobaya blanca es de 0,2:

b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya marrón al azar, esta sea de pelo largo.

c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya de pelo corto, esta sea marrón.

Ejercicio 7 (4B)

4B) El diámetro de las mandarinas de cierta variedad se distribuye normalmente con una media de 60 mm y una desviación típica de 16 mm.

a) [1 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro menor de 40 mm o mayor de 90 mm.

b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que, al escoger al azar dos mandarinas, ambas tengan menos de 50 mm de diámetro.

c) [0.5 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro entre 40 mm y 50 mm.