Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Cantàbria 2025

MATEMÁTICAS II

Ejercicio 1 (Apartado 1, Bloque A+D · 2,5 puntos)

Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):

1A) Considera las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{con } a \in \mathbb{R}.$$

a) [0,75 puntos] Estudia el rango de $AB$, en función de los valores de $a$.

b) [0,75 puntos] Estudia el rango de $BA$, en función de los valores de $a$.

c) [1 punto] Considera $a = 1$. Calcula, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $BAX = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$.

1B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} ax + y + z = 4 \\ (a-1)x - 3z = 2 \\ y + (a^2 + a + 1)z = 0 \end{cases}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.

b) [0,5 puntos] Considera $a = -1$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

c) [0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

Ejercicio 2 (Apartado 2, Bloque B · 2,5 puntos)

Resuelve una de las siguientes cuestiones (2A o 2B):

2A) Considera la siguiente función: $f(x) = e^{-2x}\left(x^2 - 3x + \dfrac{3}{2}\right)$

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

b) [0,75 puntos] Determina, si existen, los puntos de inflexión de $f(x)$.

c) [0,75 puntos] Si existen, halla las asíntotas horizontales de $f(x)$.

2B) Considera las siguiente funciones: $f(x) = x^2 - x$ y $g(x) = 1 - x^2$.

a) [0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $g(x)$ con el eje de abscisas OX.

b) [0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $f(x)$ con $g(x)$.

c) [1,5 puntos] Calcula el área delimitada por $f(x)$, $g(x)$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

Ejercicio 3 (Apartado 3, Bloque C · 2,5 puntos)

3) Considera la recta $r: \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}$ y el punto $P = (-3, 2, 2)$.

a) [0,5 puntos] Expresa la recta $r$ en forma continua.

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$.

c) [1 punto] Calcula la distancia entre $r$ y $P$.

Ejercicio 4 (Apartado 4, Bloque E · 2,5 puntos)

Resuelve una de las siguientes cuestiones (4A o 4B):

4A) Se tienen dos urnas con bolas rojas y bolas verdes. En la urna A hay un total de 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. En la urna B hay un total de 4 bolas verdes y 2 bolas rojas.

a) [0,5 puntos] Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas?

b) [0,5 puntos] Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

c) [1,5 puntos] Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A?

4B) En una población, el 85% de las personas son rubias. Además, su altura se distribuye según una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 16 cm.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm.

b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm.

c) [1 punto] Sabiendo que solo el 12% de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcula la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm.