Examen de Mat. CCSS II de selectivitat — Illes Balears 2025

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II Model 1

No es permet l'ús de calculadores gràfiques ni programables, ni de dispositius que puguin transmetre o emmagatzemar informació. Es poden usar regles i bolígrafs de colors (excepte vermell i verd).

Part A. Contestau el problema A1, i contestau també un problema a escollir entre el problema A2 i el problema A3 (total 4 pt).

Exercici 1 (Problema A1, obligatori)

Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, d'un experiment aleatori, sabem que $P(A) = 0.5$, que $P(B) = 0.1$, i que $P(A | B) = x$, on $x \in [0,1]$. Es demana:

a) Existeix algun valor de $x$ per al qual els esdeveniments siguin independents? (1 pt)

b) Per a quin valor de $x$ es té que la probabilitat de $A \cap B$ és màxima? (1 pt)

Exercici 2 (Problema A2)

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) disposa d'aquestes dades, per al 2023, sobre la quantitat d'habitants a Espanya per nacionalitat i sexe:

	Espanyols	Estrangers
Homes	20.6 milions	3.0 milions
Dones	21.2 milions	3.3 milions

a) Escollint un habitant a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui estranger? (1 pt)

b) Escollint dos habitants a l'atzar de manera independent, quina és la probabilitat que almenys un sigui estranger? (1 pt)

Exercici 3 (Problema A3)

Suposem que, quan un client entra en una botiga d'electrodomèstics, el temps que hi passa dedins ve donat per una variable aleatòria $X$ que segueix una distribució normal de mitjana poblacional $\mu = 15$ minuts i desviació típica $\sigma = 10$ minuts: $X \sim N(15, 10)$.

a) Quina és la probabilitat que un client estigui dins la botiga 25 minuts o menys? (1 pt)

b) Quina és la probabilitat que un client estigui dins la botiga entre 5 i 25 minuts? (1 pt)

Part B. Escolliu només un problema d'aquesta part (total 3 pt).

Exercici 4 (Problema B1)

En una fàbrica tèxtil fabricam vestits, samarretes i faldes.

– Cada vestit requereix 5 m² de teixit i 5 botons.
– Cada samarreta requereix 4 m² de teixit i 3 botons.
– Cada falda requereix 4 m² de teixit i cap botó.

a) Si volem fabricar 10 vestits, 15 samarretes i 20 faldes, quants m² de teixit i quants botons necessitam? (0.5 pt)

b) Resol el sistema d'equacions següent:

$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}.$$

(1.5 pt)

c) Si disposam de 100 m² de teixit i 120 botons, podem utilitzar completament els recursos fabricant productes? (1 pt)

Exercici 5 (Problema B2)

Considera les matrius quadrades $A$, $B$, $M$, i $N$ de mida $3 \times 3$.

a) Calcula tots els valors de $x$ tals que $A^2 = A$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}.$$

(1 pt)

b) Troba una matriu $B$ invertible, tal que $B^2 = B$. (1 pt)

c) Donades dues matrius $M$ i $N$ invertibles tals que $M^2 = M$ i $N^2 = N$, construïm la matriu següent: $C = N \cdot M \cdot N^{-1}$. És cert que $C^2 = C$? (1 pt)

Part C. Escolliu només un problema d'aquesta part (total 3 pt).

Exercici 6 (Problema C1)

Restringits al domini $x \in [0,20]$, considera les tres funcions següents:

$$f(x) = x(10 - x), \quad g(x) = 125 - 20x, \quad h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } 0 \leq x \leq 15, \\ g(x) & \text{si } 15 < x \leq 20. \end{cases}$$

a) Per a quins $x$ es té que $f(x) = g(x)$? Per a quins $x$ es té que $f'(x) = g'(x)$? (1 pt)

b) Estudia la continuïtat de la funció $h(x)$. (1 pt)

c) És la funció $h(x)$ derivable? En quins intervals és creixent? (1 pt)

Exercici 7 (Problema C2)

Considera la funció $f(x) = 10^x + x^{10}$, per a $x \in (0, +\infty)$.

a) Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$ i $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)$. (1 pt)

b) Calcula $f'(x)$. (1 pt)

c) Calcula justificadament $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\,dx$. (1 pt)

---

[Figura: Taula de la distribució normal $N(0,1)$ amb valors de probabilitat acumulada per a diferents valors de $z$ des de 0.0 fins a 4.1, organitzada en files i columnes amb increments de 0.1 i 0.01 respectivament.]