Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Andalusia 2025

Ejercicio 1

Juan ha gastado 80€ por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

a) [1,25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.

b) [1,25 puntos] Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del $30\%$, del $40\%$ y del $20\%$, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.

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Ejercicio 2

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.

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Ejercicio 3

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a + \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

a) [1 punto] Calcula $a$ para que $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$.

b) [1,5 puntos] Para $a = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudia y halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

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Ejercicio 4

Sean los puntos $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, -2)$, $B(1, 2, m)$ y $C(2, 3, 2)$.

a) [1,25 puntos] Halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ tenga un volumen de $3$ unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Para $m = 0$, calcula la distancia del punto $O$ al plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$.

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Ejercicio 5

Considera el punto $P(1, 1, 1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{2}$.

a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.

b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.

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Ejercicio 6

Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $\left(2,\, e - 2 - 2\ln(2)\right)$ y $(1, 0)$, y verifica que $f''(x) = e^{x-1} - \dfrac{1}{x}$.

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Ejercicio 7

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

	Coches	Motos
Aptos	116.383	160.667
No aptos	2.679	3.447

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?

b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?